ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第10回（12月16日）

今回は、京都大学OCWで3回生向けに後期に行われたガロア理論の講義の第10回の内容の要約をします。3 次多項式と 4 次多項式のガロア群を求めます。群の性質をゴリゴリ使うので、群論が好きな方や整数問題が好きな方は楽しめると思います。

1. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：目次
2. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第１回（10月7日）
3. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第２回（10月14日）
4. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第３回（10月21日）２限
5. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第３回（10月21日）３限
6. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第４回（10月28日）
7. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第５回（11月4日）
8. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第６回（11月11日）
9. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第７回（11月18日）
10. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第８回（12月2日）
11. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第９回（12月9日）
12. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第10回（12月16日）← 今回
13. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第11回（1月6日）
14. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第12回（1月13日）
15. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第13回（1月20日）
16. ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第14回（1月27日）

3次多項式のガロア群 (続き) (00:08~)

前回のおさらい

体 $K$ 上の3次分離多項式

\begin{align} f(x) &= x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 \\ &= (x -\alpha_1)(x -\alpha_2)(x -\alpha_3) \end{align}

に対して

\begin{align}\beta_1 &= \alpha_1^2 \alpha_2 + \alpha_2^2 \alpha_3 + \alpha_3^2 \alpha_1, \\ \beta_2 &= \alpha_1 \alpha_2^2 + \alpha_2 \alpha_3^2 + \alpha_3 \alpha_1^2 \\ \\ g(y) &= (y -\beta_1)(y -\beta_2) \end{align}

とおくと

\begin{align} g(y) &= y^2 + b_1 y + b_2 \\ \\ b_1 &= a_1 a_2 -3a_3, \\ b_2 &= a_2^3 + 9a_3^2 -6a_1 a_2 a_3 + a_1^3 a_3 \end{align}

と表されるのでした。(動画では $b_2$ の最初の項が $a_2^2$ となっていますが、前回の動画では $a_2^3$ となっており、こちらが正しいです。 )

ガロア群の計算 (02:50~)

$L = K(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ とおいたとき、$g(y)$ が既約なら $\mathrm{Gal}(L/K) \simeq \mathfrak{S}_3$、$g(y)$ が可約なら $\mathrm{Gal}(L/K) \simeq \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ であることを示します。

命題 (03:33 ~ )

$D(f)$, $D(g)$ をそれぞれ $f, g$ の判別式とする. このとき

$$D(f) = D(g)$$

が成り立つ.

(06:22 ~) $f(x)$ が分離的であることから $D(f) \neq 0$ であり、よって $D(g) \neq 0$ となります。したがって $g(y)$ も分離的です。

命題 (07:05~)

$K$ を体, $f \in K[x]$ を既約かつ分離的な 3 次多項式とし, $L$ を $f$ の最小分解体とする. このとき

1. $\mathrm{Gal}(L/K) \simeq \mathfrak{S}_3$ ならば $g(y)$ は既約
2. $\mathrm{Gal}(L/K) \simeq \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ ならば $g(y)$ は可約

が成り立つ.

(12:56 ~) $f(x) \in K[x]$ が既約であることから $\mathrm{Gal}(L/K)$ は根の集合に推移的に作用するので, $\mathrm{Gal}(L/K)$ は $\mathfrak{S}_3$ か $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ のいずれかに一致します。$g(y)$ が既約であるか可約であるかもどちらか一方が成り立つので、上の命題の主張の逆が成り立ちます。

定理 (13:58 ~)

上の命題と同じ状況で

1. $g(y)$ が既約ならば $\mathrm{Gal}(L/K) \simeq \mathfrak{S}_3$
2. $g(y)$ が可約ならば $\mathrm{Gal}(L/K) \simeq \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$

が成り立つ. $\Box$

(14:38~) 一般に 3 次方程式に対して 2 次の分解方程式というものが定義できますが、ここで定義した $g(y)$ はそれとは異なります。3 次方程式を斉次化して考えると

$$f(u, v) = a_0 u^3 + a_1 u^2 v + a_2 u v^2 + a_3 v^3$$

となります。これのヘッシアン

$$h(u, v) = \det \begin{pmatrix} \partial_u^2 f & \partial_u \partial_v f \\ \partial_v \partial_u f & \partial_v^2 f \end{pmatrix}$$

は 2 次の斉次式になります。これは群の作用に関して整合性があります。3 次方程式の解法のときに解く 2 次方程式はこの式の根になっている (?) ので、その意味での分解方程式になっています。しかし欠点があって、$f$ と $h$ の判別式が一致しません ($D(h) = -3 D(f)$ となるようです)。これはガロア群の決定の際に都合が悪いです。一方で、$g(y)$ はガロア群の決定には都合がいいですが、群の作用とは整合性がありません。判別式が $-3$ 倍になるという部分は実に興味深く、ゼータ関数の理論において余分な関数方程式が成り立つことと関係します。

4次多項式のガロア群 (18:31~)

(18:31~) 4次多項式のガロア群を求めます。標数 $2$ でも成り立ちますが、その証明のためにはアルティン・シュライアー理論が必要になります。この講義ではアルティン・シュライアー理論なしで行けるところまで行きますが、$D_4$ と $\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ を区別するところが難しいので、そこは標数が $2$ でないと仮定します。

(19:13~)

\begin{align} f(x) &= x^4 +a_1x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 \\ &= (x -\alpha_1) \cdots ( x -\alpha_4) \in K[x] \end{align}

を既約分離多項式とします。$L = K(\alpha_1, \cdots, \alpha_4)$ とおいて $\mathrm{Gal}(L/K)$ を求めます。$\mathrm{Gal}(L/K)$ の元は $\alpha_1, \cdots, \alpha_4$ の行き先で決まるので、$\mathrm{Gal}(L/K) \subset \mathfrak{S}_4$ とみなすことができ、$f$ が既約なので $\{1, 2, 3, 4\}$ に推移的に作用します。

推移的に作用する $\mathfrak{S}_4$ の部分群の分類 (21:00 ~)

まず、推移的に作用する $\mathfrak{S}_4$ の部分群を求めます。$|\mathfrak{S}_4| = 24$ で、$G \subset \mathfrak{S}_4$ の $1$ の安定化群を

$$H = \{g \in G \mid g(1) = 1\}$$

とおくと、$|G / H| = 4$ なので $G$ は $24$ の約数かつ $4$ の倍数となります。よって $|G|$ は $4, 8, 12, 24$ のいずれかになります。

命題 (22:24~)

$\{1, 2, 3, 4\}$ に推移的に作用する部分群 $G \subset \mathfrak{S}_4$ に対して以下の3つのうちのいずれかが成り立つ.

1. $\mathfrak{S}_4$, $A_4$ (交代群), $\langle (12)(34), (13)(24) \rangle$ (Klein の四元群) のどれかと一致.
2. $D_4 = \langle (1234), (24) \rangle$ と共役 ($D_4$, $\langle (1342), (23) \rangle$, $\langle (1423), (34) \rangle$ のどれかと一致).
3. $\mathbb{Z}/ 4\mathbb{Z}$ と同型. ($\langle (1234)\rangle$, $\langle (1342)\rangle$, $\langle (1423)\rangle$ のどれかと一致)

補足 (指数2の部分群は正規部分群)

$G$ を有限群、$H \subset G$ を部分群とし、$|G / H| = 2$ を満たすとします。このとき $H \triangleleft G$ を示します。そのためには、任意の $a \in G$ に対して $a H = H a$ を示せば良いです。$a \in H$ のときは $a H = Ha = H$ です。$a \notin H$ のときは任意の $h \in H$ に対して $ah \notin H$ となります。これは、$ah \in H$ と仮定すると $a = ah h^{-1} \in H$ となり、矛盾することからわかります。$Ha$ も同様です。よって $aH \subset G \setminus H$ ですが、$|G / H| = 2$ から $|aH| = |H| = |G \setminus H|$ が成り立つので、$aH = G \setminus H$ です。$Ha$ も同様に $Ha = G \setminus H$ です。以上で $a H = H a$ がわかり、$H$ が正規部分群であることがわかりました。

ガロア群の計算 (38:47 ~)

今度は 4 次多項式に対して 3次多項式を対応させます。既約かつ分離的な 4 次多項式

$$f(x) = x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 \in K[x]$$

の根を $\alpha_1, \cdots, \alpha_4$ とし

\begin{align} \tau_1 &= \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_3 \alpha_4 \\ \tau_2 &= \alpha_1 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_4 \\ \tau_3 &= \alpha_1 \alpha_4 + \alpha_2 \alpha_3 \end{align}

とおきます。これらを根に持つ多項式を

\begin{align} g(y) &= (y -\tau_1)(y -\tau_2)(y -\tau_3)\\ &= y^3 + b_1 y^2 + b_2 y + b_3 \end{align}

とおくと、これは $K$ 上の多項式になります。($\tau_i$ は $\alpha_j$ の対称式で $b_k$ は $\tau_i$ の対称式なので、$b_k$ は $\alpha_j$ の対称式です。$f(x)$ の係数 $a_l$ は $\alpha_j$ の基本対称式なので、$b_k$ は $a_l$ で表されます。ガロア群の任意の元で $b_k$ が固定されることからもわかります。)実際に計算すると以下のようになります。

命題 (43:33 ~)

上の状況において

\begin{align} b_1 &= -a_2, \\ b_2 &= a_1a_3 -4a_4,\\ b_3 &= -a_4(a_1^2 -4a_2) -a_3^2 \end{align}

となる.

(証明の概略) : 計算すれば良い. (動画を見ることを強くお勧めします。雪江先生はスラスラ計算されていますが、慣れていないと大変だと思います。) $\Box$

3 次多項式のガロア群を求めたときと同様に、$g(y)$ に対して 2 次の多項式 $h(z) = z^2 + c_1 z + c_2$ を作ることができます。先ほどと同様に判別式が一致することを示します。

命題. (52:57 ~)

$D(f) = D(g)$ が成り立つ.

この命題から、$f(x)$ が分離的なら $g(y)$ も分離的、$g(y)$ が分離的ならば $h(z)$ も分離的であることがわかります。

命題 (54:58 ~)

$f(x) \in K[x]$ を既約分離 4 次多項式とし, $L$ を $f$ の $K$ 上の最小分解体とする. $G = \mathrm{Gal}(L /K)$ とおく. このとき, 以下が成り立つ.

1. $G \simeq \mathfrak{S}_4$ ならば, $g, h$ は既約.
2. $G \simeq A_4$ ならば, $g$ は既約で $h$ は可約.
3. $G \simeq D_4, \mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ ならば, $g$ は可約で 1 次式と 2 次式に分解し, $h$ は既約.
4. $G \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} $ ならば, $g, h$ は可約である.

この命題の $G$ の条件は互いに背反で全ての場合を尽くし、$g, h$ に関する条件が背反なので、逆が成り立ちます。

定理. (1:14:01 ~)

$f(x) \in K[x]$ を既約分離 4 次多項式とし, $L$ を $f$ の $K$ 上の最小分解体とする. $G = \mathrm{Gal}(L /K)$ とおく. このとき, 以下が成り立つ.

1. $g, h$ が既約ならば $G \simeq \mathfrak{S}_4$.
2. $g$ が既約で $h$ が可約ならば $G \simeq A_4$.
3. $g$ が可約で $h$ が既約ならば $G \simeq D_4$ または $G \simeq \mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$.
4. $g, h$ が可約ならば $G \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$.

が成り立つ. $\Box$

$D_4$ と $\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ を区別する (1:15:10~)

これが一番難しいです。証明は次回にまわして、例を考えます。

例. 1 (1:16:02~)

$$f(x) = x^4 + 2x + 2 \in \mathbb{Q}[x]$$

とする. これはアイゼンシュタインの判定法により既約である (既約かつ標数 $0$ なので重根を持たない). このとき, 計算すると

$$g(y) = y^3 -8y -4$$

となる. $\mathbb{Z}$ は UFD なので, $g(y)$ が $\mathbb{Z}$ 上で既約なら $\mathbb{Q}$ 上でも既約である (証明は第一回). $g(y)$ は 3 次なので, 可約なら 1 次因子を持ち, それは $-4$ の約数 $\pm 1$, $\pm2$, $\pm 4$ になる. 計算すると $0$ にならないので既約. $h(z)$ の既約性は判別式を計算すれば良い. 計算すると $D(h) = D(g) = 4^2 \cdot 101$ となり, 平方でないので既約 (解の公式からわかる). よってガロア群は $\mathfrak{S}_4$. $\Box$

適当に選ぶと $\mathfrak{S}_4$ になります。

(1:21:14 ~) 最後に $D_4$ と $\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$ を区別する方法の主張だけ述べます。

命題. (1:21:26 ~)

上の定理の (3) において

$$g(y) = (y^2 + d_1y + d_2)(y -\tau_2) \quad d_1, d_2 \in K$$

とおいたとき、以下の 2 つは同値.

1. $\mathrm{Gal}(L /K) \simeq \mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}$.
2. 2 つの方程式
   \begin{align} w^2 + a_1 w -d_1 &= 0 \\ w^2 -\tau_2 w + a_4 &= 0 \end{align}
   が両方 $K(\tau_1)$ に解を持つ $\Box$

2 つの方程式の解は解の公式で記述できますが, 後でやるクンマー理論を使います。

次回

ガロア理論の講義（OCW）を要約する：第11回（1月6日）