解析

• 2024.11.25

正則関数のべき級数展開とその収束半径

        ※ この記事は以下の動画の補足記事です。動画中で説明を飛ばした内容の補足などを記載します。 https://youtu.be/x-lQSwpFKlM べき級数 $\sum_{n=0}^{\inf...

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• 2024.09.28

ガンマ関数はベータ関数との関係からほぼ一意に定まる

        この記事は、ガンマ関数について解説した以下の動画 https://youtu.be/zsufynu0NYA の補足記事です。 ※ 内容は独立しているので、記事単体でも読むことができます。ガンマ関数...

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• 2024.03.05

収束半径の境界上でのべき級数の振る舞いについて

        以下の記事で、べき級数の収束半径や、収束半径の内側での四則演算、微積分について述べました。 「収束べき級数に許される演算」 しかし、収束半径のちょうど境界の上での振る舞いについては全く触れませんでした。そこ...

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• 2024.02.08

収束べき級数に許される演算

        $I \subset \mathbb{R}$ を開区間とし、$f: I \to \mathbb{R}$ を無限回微分可能な関数とします。$a \in I$ に対し、 $$\sum_{n = 0}^{\infty}...

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• 2024.02.05

べき級数の収束半径は幾何級数との比較で求められる

        べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ $(a_n \in \mathbb{R})$ には、収束半径と呼ばれる $R \in [0, \infty]$ が定まります。そして $\sum_{...

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• 2023.06.29

KL ダイバージェンス最小化の意味を理解するための記事まとめ

        KL ダイバージェンス最小化の意味を説明することをテーマに、幾つか記事を書いてきました。これらの記事を書いた動機は、KL ダイバージェンスの最小化 (最尤推定) は統計的推論の最も基本的な手法であるにもかかわらず、手に...

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• 2023.06.28

KL ダイバージェンス最小化（最尤推定）の確率論的な意味

        統計的推論では多くの場合、最尤推定という方法が用いられます。それにもかかわらず、最尤推定の確率的な意味について書かれた教科書は多くありません。実は最尤推定を考案したフィッシャー自身、尤度について「"合理的な信念の尺度"...

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• 2023.06.27

ネイマン・ピアソンの補題と仮説検定の漸近挙動

        $S$ を集合とし、$S$ 上の $n$ 個のデータ $\{x_1, \dots, x_n\}$ が与えられたとします。このデータを生成した分布の候補が $2$ つあるとし、それぞれ $P$, $Q$ とおくこととしま...

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• 2023.06.21

1次元のクラメールの定理の証明

        クラメールの定理は以下の記事 「統計的仮説検定とクラメールの定理」 で証明していますが、この記事ではキュムラント母関数が任意の点で有限であることを仮定していました。本記事では、キュムラント母関数の値が $\...

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• 2023.06.21

KL ダイバージェンスは τ-位相に関して good rate function である

        可分完備距離空間 (ポーランド空間) $S$ 上の確率測度全体 $\mathcal{P}(S)$ の、弱位相に関する sanov の定理を以下の記事で示しました。 「sanov の定理の証明」 しかし弱位相...

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