冪級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ $(a_n \in \mathbb{R})$ には、収束半径と呼ばれる $R \in [0, \infty]$ が定まります。そして $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ は $|x| < R$ のときに収束し、$|x| > R$ のとき発散します。これは微積分学における非常に基本的な事実で、冪級数から収束半径を求める方法もいくつか知られています。
昔勉強したときは気づかなかったのですが、これらの事実のほとんどは幾何級数
$$\sum_{n = 0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots $$
が $|x| < 1$ で収束すること、$|x| > 1$ で発散することから示されます。それをこの記事で紹介します。
本記事で紹介する (幾何級数との比較による) 方法はスタンダードなものなので、本記事で意味のある情報はタイトルぐらいしかないですが、この事実を知っていればもっと理解が捗ったかもしれないので、記事に残します。(昔はそんなこと言われても理解できなかったかもしれませんが。ただ、この事実に気づいてから、忘れても導けばいいや、くらいには収束半径に関する心理的ハードルが下がった気がします。)
本記事では基本的に実数 $\mathbb{R}$ 上の冪級数を扱いますが、実数を複素数 $\mathbb{C}$ に置き換えても成り立ちます。
目次
幾何級数について
幾何級数の収束
幾何級数
$$\sum_{n = 0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots $$
の収束について考えます。$n = m$ までの和 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^m$ に対して $1 -x$ をかけると
$$(1 -x)(1 +x +x^2 +\cdots + x^m) = 1 -x^{m+1}$$
が成り立ちます。これは簡単な計算でわかります。よって
\begin{align} \sum_{n = 0}^m x^n = \frac{1 -x^{m+1}}{1 -x} \end{align}
となります。ここで、$|x| < 1$ ならば
$$\lim_{m \to \infty} x^{m+1} = 0$$
なので (後で示します)、$|x| < 1$ のとき
\begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty} x^n &= \lim_{m \to \infty} \sum_{n = 0}^m x^n \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{1 -x^{m+1}}{1 -x} \\ & = \frac{1}{1 -x} \end{align}
となり、特に $\sum_{n = 0}^{\infty} x^n$ は $|x| < 1$ のときに収束します。逆に $|x| \geq 1$ のときは、$|x^n| \geq 1$ なので (コーシー列にならないため) 収束しません (記事下部の “コーシー列と級数の発散の判定法” で補足)。
$\lim_{m \to \infty} x^{m} = 0$ の証明
$|x| < 1$ のときに $\lim_{m \to \infty} x^{m} = 0$ が成り立つことを示します。$|x| < 1$ なので、$|x| < \frac{1}{1 + h} < 1$ を満たす $h > 0$ が存在します。
$$(1 + h)^m = 1 + mh + \cdots + mh^{n-1} + h^m > 1 + mh$$
なので、逆数をとって $\frac{1}{(1 + h)^m} < \frac{1}{1 + mh}$ が成り立ちます。このとき
\begin{align} 0 &\leq |\lim_{m \to \infty} x^m| \leq \lim_{m \to \infty} |x^m| \\ & \leq \lim_{m \to \infty}\frac{1}{(1 + h)^m} < \lim_{m \to \infty}\frac{1}{1 + mh} = 0 \end{align}
よって $|\lim_{m \to \infty} x^m| = 0$ なので $\lim_{m \to \infty} x^m = 0$ となります。
収束半径について
冪級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ $(a_n \in \mathbb{R})$ には収束半径と呼ばれるものが存在します。
命題. 収束半径の存在
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ に対して、以下の条件を満たす $R \in [0, \infty]$ が存在します。
- $|x| < R$ なら $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ は収束する。
- $|x| > R$ なら $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ は収束しない。
この $R$ を $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径といいます。 $\Box$
これを証明しましょう。ポイントは $x = r$ で $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ が収束するときに、$|x| < r$ で $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束することを示すところで、それは幾何級数との比較によってなされます。
(証明) $r \in (0, \infty)$ に対して $\sum_{n=0}^{\infty} a_n r^n$ が収束すると仮定します。このときコーシー列の性質から $\lim_{n \to 0}|a_n| r^n = 0$ となるので、特に任意の $n \geq 0$ に対して
$$|a_n| r^n < M$$
を満たす $M > 0$ が存在します。このとき $|x| < r$ ならば、任意の $n$ に対して
\begin{align} \sum_{i=0}^{n} |a_i x^i| &= \sum_{i=0}^{n} |a_i r^i| \left(\frac{|x|}{r}\right)^i \\ & < \sum_{i=0}^{n} M \left(\frac{|x|}{r}\right)^i \\ & \leq M \frac{1}{1 -\left(\frac{|x|}{r}\right)} \end{align}
が成り立つので、$S_n = \sum_{i=0}^{n} |a_i x^i|$ は上に有界な単調増加数列です。従って実数の連続性 (と同値な命題の一つ) から、$S_n$ は収束します。
ここで、
$$A = \{r \in \mathbb{R} \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n {r}^n \textrm{ は収束する }\}$$
とおくと、$0 \in A$ なので $A$ は空集合ではありません。もし $A$ が有界でなければ、$A$ は $0$ 以上の任意の実数を含みます。つまり任意の $r \in [0, \infty)$ に対して $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n r^n|$ が収束します。このとき $R = +\infty$ とすれば、$R$ は収束半径です。
$A$ が有界であれば、実数の連続性から $R = \sup A$ が存在します。このとき、任意の $0 \leq r < R$ に対して、$\sup$ の定義から $r < r^{\prime} < R$ を満たす $r^{\prime} \in A$ が存在するので、$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n {r}^n|$ が収束します。$r >R$ であれば、$r \notin A$ なので $\sum_{n=0}^{\infty} a_n {r}^n$ は収束しません。従って $R$ は収束半径です。$\Box$
以上で収束半径が存在することがわかりました。一応補足しておくと、$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束すれば $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ も収束するので、$|x| < R$ で単に収束する、ということより強いことがいえています。(記事下部の “絶対収束するなら収束すること” で補足)
収束半径を $R$ としたとき、$|x| = R$ のときの収束発散はこれだけでは何もわかりません。収束する場合も発散する場合もあります。(記事下部の補足 “絶対収束しなくても収束する例” を適当な級数の $|x| = 1$ の場合とみなす。)
収束半径の求め方
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径の求め方を2つ紹介します。基本的には幾何級数との比較により求められます。
ダランベールの判定法
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ に対して、もし
$$r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \in [0, +\infty]$$
が存在するならば、$\frac{1}{r}$ は $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径です。ただし $r = 0$ のときは $+\infty$、$r=+\infty$ のときは $0$ とします。
これを示しましょう。$r = 0$ の場合、$r = +\infty$ の場合、$r \in (0, \infty)$ の場合に分けて示します。
$r = 0$ の場合
収束半径が $+\infty$ であること、つまり任意の $0 < R < \infty$ に対して $|x| < R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束することを示します。$\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ が $0$ に収束することから、ある $N > 0$ が存在して任意の $n > N$ に対して $\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < \frac{1}{R}$ を満たします。このとき $n > N+1$ に対して
\begin{align}\left| \frac{a_{n} x^n}{a_{N + 1} x^{N+1}}\right| &= \left|\frac{a_{N+2} }{a_{N + 1}} \right| \cdots \left|\frac{a_{n} }{a_{n-1}} \right| |x^{n -N-1}| \\ & < \left|\frac{x^{n -N-1}}{R^{n -N-1}}\right| \end{align}
が成り立ちます。よって $|x| < R$ のとき
\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} |a_nx^n| &= \sum_{n=1}^{N} |a_nx^n| + \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n x^n| \\ &= \sum_{n=1}^{N} |a_nx^n| + \frac{1}{|a_{N+1}x^{N+1}|} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left|\frac{a_n x^n }{a_{N+1}x^{N+1}}\right| \\ &< \sum_{n=1}^{N} |a_nx^n| + \frac{1}{|a_{N+1}x^{N+1}|} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left|\frac{x^{n -N-1}}{R^{n -N-1}}\right| \\ &= \sum_{n=0}^{N} |a_nx^n| + \frac{1}{|a_{N+1}x^{N+1}|} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{|x|}{R}\right)^n \\ &= \sum_{n=0}^{N} |a_nx^n| + \frac{1}{|a_{N+1}x^{N+1}|} \frac{1}{1 -\frac{|x|}{R}} \end{align}
となるので、$|x| < R$ で $\sum_{n=1}^{\infty} |a_nx^n|$ は収束します。$R$ は任意だったので、収束半径は $+\infty$ です。
$r = + \infty$ の場合
収束半径が $0$ であること、つまり任意の $0 < R < \infty$ に対して、$|x| > R$ で $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ が発散することを示します。$\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ が $+\infty$ に発散するので、任意の $R > 0$ に対してある $N > 0$ が存在して、$n > N$ のときに $\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| > \frac{1}{R}$ を満たします。このとき任意の $n > N + 1$ に対して
\begin{align} \frac{|a_{n}x^n|}{|a_{N+1}x^{N+1}|} & ＝ \left|\frac{a_{N+2} }{a_{N + 1}} \right| \cdots \left|\frac{a_{n} }{a_{n-1}} \right| |x^{n -N-1}| \\ & > \left(\frac{|x|}{R}\right)^{n -N-1} \end{align}
が成り立ちます。よって
$$|a_{n}x^n| > |a_{N+1}x^{N+1}| \left(\frac{|x|}{R}\right)^{n -N-1}$$
が成り立ちます。$|x| > R$ のとき $\frac{|x|}{R} > 1$ なので、$|a_{n}x^n|$ は $n$ を大きくすることでいくらでも大きくなります。よって $S_n = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ はコーシー列ではなく、$S_n$ は発散します。$R$ は任意なので $|x| > 0$ のとき $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ は発散し、よって収束半径は $0$ です。
$r \in (0, \infty)$ の場合
収束半径が $\frac{1}{r}$ であることを示すには、任意の $R < \frac{1}{r}$ に対して $|x| < R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束すること、任意の $R > \frac{1}{r}$ に対して $|x| > R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ が発散することを示せば良いです。
$R < \frac{1}{r}$ とすると $\frac{1}{R} > r$ なので、ある $N > 0$ が存在して任意の $n > N$ に対して $\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < \frac{1}{R}$ が成り立ちます。あとは $r = 0$ の場合と同様にして、任意の $|x| < R$ で $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束することがわかります。
$R > \frac{1}{r}$ とすると $\frac{1}{R} < r$ なので、ある $N > 0$ が存在して任意の $n > N$ に対して $\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| > \frac{1}{R}$ が成り立ちます。あとは $r = + \infty$ の場合と同様にして、任意の $|x| > R$ で $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ が発散することがわかります。$\Box$
以上でダランベールの判定法が証明されました。ダランベールの判定法は便利ですが、$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| $ の存在を仮定しているので、例えば奇数番目の項で $0$、偶数番目の項で $1$、のような冪級数に対してはそのままでは適用できません。特に、一般論の中で収束半径を求める (例えば一般の冪級数とその微分の冪級数の収束半径が同じことを求める) 場合には適用できません。
そのような極限の存在を仮定しない方法としてコーシー・アダマールの判定法があります。
コーシー・アダマールの判定法
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ に対して
$$l = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in [0, \infty]$$
とおくと、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径は $\frac{1}{l}$ と一致します。ただし、$l = 0$ のときは $+\infty$、$l = +\infty$ のときは $0$ とします。
$\limsup$ の意味は記事下部の “$\limsup$ について” で補足しています。
これを示しましょう。$l = 0$ の場合、$l = +\infty$ の場合、$l \in (0, \infty)$ の場合に分けて示します。
$l = 0$ の場合
収束半径が $+\infty$ であること、つまり任意の $0 < R < \infty$ に対して、 $|x| < R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束することを示します。$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 0$ なので、ある $N > 0$ が存在して、$n > N$ のときに常に
$$\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{R}$$
が成り立ちます。このとき
\begin{align} |a_n x^n| &= (\sqrt[n]{|a_n|})^n |x|^n \\ &< \left(\frac{|x|}{R}\right)^n \end{align}
が成り立ちます。従って $|x| < R$ とすれば
\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n| &= \sum_{n=0}^{N} |a_n x^n| + \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n x^n| \\ & < \sum_{n=0}^{N} |a_n x^n| + \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{|x|}{R}\right)^n \\ & < \sum_{n=0}^{N} |a_n x^n| + \frac{1}{1 -\left(\frac{|x|}{R}\right)} \end{align}
となり、$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束します。$R$ は任意なので、収束半径は $\infty$ です。
$l = \infty$ の場合
収束半径が $0$ であること、つまり任意の $0 < R < \infty$ に対して $|x| > R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ が収束しないことを示します。$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \infty$ なので、任意の $R > 0$ に対して $\sqrt[n]{|a_n|} > \frac{1}{R}$ を満たす $n$ が無限個存在します。この不等式を満たす $n$ に対して
$$|a_n x^n| = (\sqrt[n]{|a_n|})^n |x|^n > \left(\frac{|x|}{R}\right)^n$$
を満たします。よって $|x| > R$ ならば $|a_n x^n| > 1$ を満たす $n$ が無限個存在し、$S_n = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ がコーシー列にならないので、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ は $|x| > R$ で収束しません。$R$ は任意なので、収束半径は $0$ です。
$l \in (0, \infty)$ の場合
収束半径が $\frac{1}{l}$ であることを示すには、任意の $R < \frac{1}{l}$ に対して $|x| < R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束すること、任意の $R > \frac{1}{l}$ に対して $|x| > R$ のときに $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ が発散することを示せば良いです。
$R < \frac{1}{l}$ ならば $\frac{1}{R} > l$ なので、ある $N > 0$ が存在して、任意の $n > N$ に対して
$$\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{R}$$
が成り立ちます。$l = 0$ のときと同様にして、$|x| < R$ で $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n x^n|$ が収束することがわかります。
$R > \frac{1}{l}$ ならば $\frac{1}{R} < l$ なので、
$$\sqrt[n]{|a_n|} > \frac{1}{R}$$
を満たす $n$ が無限個存在します。$l = \infty$ のときと同様にして、$|x| > R$ ならば $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ は収束しないことがわかります。よって収束半径は $\frac{1}{l}$ です。$\Box$
これでコーシー・アダマールの判定法が正しいことが示されました。振り返ると、収束半径の存在も、収束半径の求め方も、全て幾何級数との比較で示されていることがわかります。
ただし、$|x| = R$ のときの収束、発散については幾何級数は (たぶん) 何も教えてくれないので、別の方法を用いる必要があります。
補足
コーシー列と収束
$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ を $\mathbb{R}$ 上の数列とします。$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ が $a \in \mathbb{R}$ に収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N > 0$ が存在して、任意の $n > N$ に対して
$$|a -a_n| < \varepsilon$$
を満たすことです。
一方、$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ がコーシー列であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N > 0$ が存在して、任意の $n, m > N$ に対して
$$|a_m -a_n| < \varepsilon$$
が成り立つことです。$\mathbb{R}$ 上の数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ が収束するならばコーシー列であること、そしてコーシー列はある値 $a \in \mathbb{R}$ に収束することが知られています。よってコーシー列は、数列が収束することを、収束先を明示することなく表現したものになります。
これが成り立つことは、実数とは何か、という問題に関わります。その証拠に、有理数 $\mathbb{Q}$ 上のコーシー列を用いて実数 $\mathbb{R}$ を構成する方法が知られています。詳しく知りたい方は [H] をご参照ください。
コーシー列が収束することの証明
ちなみに実数の連続性公理と呼ばれる命題の一つ、「$\mathbb{R}$ 上の上に有界な任意の単調増加数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ は収束する」を認めれば、コーシー列が収束することを次のように示せます。
下に有界な任意の単調減少数列 $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ は、$\{-b_n\}_{n=0}^{\infty}$ を考えれば上に有界な任意の単調増加数列なので、収束します。
$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ はコーシー列であるとすると、ある $N > 0$ が存在して $n > N$ のときに
$$|a_n -a_N| < 1$$
が成り立ちます。よって $n > N$ のときには
\begin{align} |a_n| &= |a_n -a_N + a_N| \\ & \leq |a_n -a_N| + |a_N| \\ & < |a_N| + 1 \end{align}
が成り立ます。任意の $n$ に対しては
$$|a_n| \leq \max\{|a_0|, |a_1|, \cdots, |a_N|, |a_N| + 1\}$$
が成り立ちます。従って $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ は有界です。つまり、任意の $n$ に対して $a_n \in [p_0, q_0]$ を満たす $p_0, q_0 \in \mathbb{R}$ が存在します。これを半分に区切った $[p_0, \frac{p_0+q_0}{2}]$, $[\frac{p_0+q_0}{2}, q_0]$ を考えると、少なくともどちらか一方に $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ の元が無限個含まれます。無限個含む方の区間を改めて $[p_1 , q_1]$ とおきます。同様にこれを半分にした区間を考えると、どちらかに $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ の元が無限個含まれます。それを $[p_2, q_2]$, $\cdots$, $[p_m, q_m]$, $\cdots$ とおくと $p_m$ は単調増加数列、$q_m$ は単調減少数列なので、実数の連続性からそれぞれ $p$, $q$ に収束します。ここで、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $m$ を十分大きくとれば、$|p-p_m| < \varepsilon$, $|q-q_m| < \varepsilon$, $\frac{p_0 -q_0}{2^m} < \varepsilon$ が成り立つようにできるので、$|p_m -q_m| = \frac{p_0 -q_0}{2^m}$ から
\begin{align} |p -q| &= |p -p_m + p_m -q_m +q_m -q| \\ & \leq |p -p_m| + |p_m -q_m| +|q_m -q| \\ & < 3\varepsilon \end{align}
となります。$\varepsilon$ は任意なので $p = q$ となります。
最後に、$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ が $p$ に収束することを示します。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $p_m -q_m < \varepsilon$, $|p -p_m| < \varepsilon$ となるように $m$ をとり、$N > 0$ を $a_N \in [p_m, q_m]$ かつ $n > N$ のときに $|a_n -a_N| < \varepsilon$ を満たすように取ります。このとき $n > N$ ならば
\begin{align} |p -a_n| &= |p -p_m + p_m -a_N +a_N -a_n| \\ & \leq |p -p_m| + |p_m -a_N| + |a_N -a_n| \\ & < 3 \varepsilon \end{align}
が成り立ちます。$\varepsilon$ は任意なので、$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ は $p$ に収束します。
これで、コーシー列が収束することが示せました。
コーシー列と級数の発散の判定法
数列が収束するならばコーシー列である、という事実を使うと、級数の発散を判定することができます。
級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_n$ を考えます。級数が収束、発散することは、$S_m = \sum_{n=0}^m a_n$ とおいたとき、数列 $\{S_m\}_{m = 0}^{\infty}$ が収束、発散することを意味します。$\{S_m\}_{m = 0}^{\infty}$ が収束するならば、$\{S_m\}_{m = 0}^{\infty}$ はコーシー列なので、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N > 0$ が存在して、$m > m^{\prime} > N$ ならば
$$|S_m -S_{m^{\prime}}| = |a_m + a_{m-1} + \cdots + a_{m^{\prime}}| < \varepsilon$$
が成り立ちます。よって $m = m^{\prime} + 1$ とすれば、
$$|a_m| < \varepsilon$$
が成り立ちます。これが $\{S_m\}_{m = 0}^{\infty}$ が収束するための必要条件になるので、これが成り立たなければ $\{S_m\}_{m = 0}^{\infty}$ は発散します。つまり、ある $\delta > 0$ が存在して、任意の $N > 0$ に対して $|a_n| > \delta$ を満たす $n > N$ が存在するとき ($|a_n| > \delta$ を満たす $n$ が無限個存在するとき)、 $\{S_m\}_{m = 0}^{\infty}$ は発散します。
級数の収束と絶対収束
$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ を $\mathbb{R}$ 上の数列に対して、
$$S = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n$$
をその級数といいます。$S$ は $S_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i$ とおいたときの $S_n$ の極限です。
級数の収束に関する性質をいくつか述べます。
絶対収束するなら収束すること
各項の絶対値を取った級数
$$\overline{S} = \sum_{n = 0}^{\infty} |a_n|$$
が収束するとき、$S$ は絶対収束するといいます。$S$ が絶対収束するなら、$S$ は収束します。これを証明しましょう。
$\overline{S}_n = \sum_{i = 0}^{n} |a_i|$ とおくと、これがコーシー列であることから、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $N > 0$ が存在して、$m > n > N$ のときに
$$|\overline{S}_m -\overline{S}_n| = \sum_{i = n}^{m} |a_n| < \varepsilon$$
が成り立ちます。このとき、
\begin{align} |S_m -S_n| &= |\sum_{i = n}^{m} a_n | \\ & < \sum_{i = n}^{m} |a_n| \\ & < \varepsilon \end{align}
なので、$\{S_n\}$ はコーシー列であり、ある値に収束します。これで $S$ が絶対収束するなら、$S$ が収束することがわかりました。
絶対収束しなくても収束する例
絶対収束するなら収束しますが、逆は一般には成り立ちません。つまり、絶対収束しなくても収束する場合があります。例えば
$$1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$$
は $\log 2$ に収束することが知られていますが ([K])、各項の絶対値を取った
$$1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$$
は収束しません。これは $n = 2^k + 1$ から $2^{k+1}$ までの和が
\begin{align} \sum_{n = 2^k + 1}^{2^{k+1}}\frac{1}{n} &> \sum_{n = 2^k + 1}^{2^{k+1}}\frac{1}{2^{k+1}} \\ &= 2^k \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2} \end{align}
となり、どんな自然数 $M > 0$ に対しても、
$$ \sum_{n = 1}^{2^{2M}}\frac{1}{n} > (2M)\frac{1}{2} = M $$
が成り立つからです。
$\limsup$ について
実数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、集合 $A_m$ を $A_m = \{a_n \mid n \geq m\}$ とおきます。$A_m$ の上限
$$l_m = \sup A_m \in [0, \infty]$$
が存在します。(このとき全ての $n \geq m$ に対して $a_n \leq l_m$ であり、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $l_m -\varepsilon < a_n$ を満たす $n$ が少なくとも一つ存在します。)
$l_m$ は $m$ に関して単調減少なので $\lim_{m \to \infty} l_m$ が存在します。これを
$$\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{m \to \infty} l_m $$
と表し、$a_n$ の上極限と呼びます。
$$\limsup_{n \to \infty} a_n = l$$
とおくと、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N > 0$ が存在して、$n > N$ ならば $a_n < l +\varepsilon$ を満たし、かつ $l -\varepsilon < a_n$ を満たす $n$ が無限個存在します。極限と異なるのは、$a_n < l -\varepsilon$ を満たす $n$ が無限個存在する場合があることです。
参考文献
[S] 杉浦光夫. 解析入門 Ⅰ(基礎数学2)
[H] 原隆 (九州大学数理学研究院). 実数の構成に関するノート
[K] 高校数学の美しい物語. log2に収束する交代級数の証明