可換環論では特に代数幾何の文脈において、環準同型によるイデアルの対応はとても重要です。しかし、基本的で単純なものほど、教科書中の証明において明らかであると飛ばされてしまい、たびたび手が止まってしまって面倒な思いをしました。なので、本記事でイデアルの対応について、特に基本的なものをまとめようと思います。( 見つけ次第追記していきます。)
本記事では環準同型
$$\varphi: A \to B$$
が与えられた状況における、互いの環上のイデアルの対応を考えます。$A$ のイデアルを $I$ や $\mathfrak{p}$ などのように $^{\prime}$ なしで表し、$B$ のイデアルを $I^{\prime}$ や $\mathfrak{p}^{\prime}$ などのように $^{\prime}$ をつけて表します。
また、環 $A$ の素イデアルの集合を $\mathrm{Spec} A$ と表します。
イデアルの逆像
イデアル $I^{\prime} \subset B$ のイデアルの逆像 $\varphi^{-1}(I^{\prime}) \subset A$ がイデアルになることはよく知られています。$x, y \in \varphi^{-1}(I^{\prime})$ に対して直接
\begin{align} x + y \in \varphi^{-1}(I^{\prime}) & \\ ax \in \varphi^{-1}(I^{\prime}) & \ \ (\forall a \in A) \end{align}
を示してもいいですし、$\bar{\varphi}: A \to B / I^{\prime}$ に対して
$$\ker \bar{\varphi} = \varphi^{-1}(I^{\prime})$$
であることを用いても良いです。
素イデアルの逆像
素イデアルの逆像が素イデアルであることは代数幾何学において重要な事実なので、教科書にきちんと書いてあると思います。一応証明しておくと、素イデアル $\mathfrak{p}^{\prime} \subset B$ に対して単射準同型
$$\bar{\varphi}: A / \varphi^{-1}(\mathfrak{p}^{\prime}) \hookrightarrow B / \mathfrak{p^{\prime}}$$
が得られますが、$B / \mathfrak{p}^{\prime}$ が整域なので、その部分環である $A / \varphi^{-1}(\mathfrak{p}^{\prime})$ も整域になります。
極大イデアルの逆像
一般に極大イデアルの逆像は極大イデアルになりません。しかしある条件のもとでは逆像が極大イデアルになります。
まずは、一般に逆像が極大イデアルにならないことを確認しましょう。
$A$ を極大イデアルでない素イデアル $\mathfrak{p}$ をもつ環とします。例えば $\mathbb{C}$ 上の 2 変数多項式多項式環 $\mathbb{C}[x_1, x_2]$ の、$x_1$ で生成されるイデアル $(x_1)$ は素イデアルですが極大イデアルではありません ( $\mathbb{C}[x_1, x_2] / (x_1)$ は整域だが体でない)。このとき、$S_{\mathfrak{p}} = A \setminus \mathfrak{p}$ とおいて局所化 $A_{\mathfrak{p}} = S^{-1}_{\mathfrak{p}} A$ を考えると、よく知られているように 1 対 1 対応
\[ \xymatrix@!C=65pt@R=-8pt@M=8pt{ \{\mathfrak{q} \in \mathrm{Spec} A \mid \mathfrak{q} \cap S_{\mathfrak{p}} = \varnothing\} \ar[r]^-{\sim} & \mathrm{Spec} A_{\mathfrak{p}} \\ \mathfrak{q} \ar@{|->}[r] & S^{-1}_{\mathfrak{p}} \mathfrak{q} \\ \varphi^{-1}(\mathfrak{q}^{\prime}) & \mathfrak{q}^{\prime} \ar@{|->}[l] \\ } \]
が存在します。ここで、$S^{-1}_{\mathfrak{p}} \mathfrak{q}$ は
$$\{\frac{q}{s} \mid q \in \mathfrak{q}, s \in S_{\mathfrak{p}}\} \subset A_{\mathfrak{p}}$$
であり、これが $A_{\mathfrak{p}}$ のイデアルであることは明らかでしょう。素イデアルでことは教科書を参照してください。$S_{\mathfrak{p}}$ の定義から
$$\mathfrak{q} \cap S_{\mathfrak{p}} = \varnothing \Leftrightarrow \mathfrak{q} \subset \mathfrak{p}$$
なので、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}$ に含まれる $A$ の素イデアルと 1 対 1 に対応し、この対応は包含関係も保つので、$S^{-1}_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルになります。$\varphi^{-1}(S^{-1}_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}) = \mathfrak{p}$ であり、$\mathfrak{p}$ は極大イデアルでないので、極大イデアルの逆像は極大イデアルにならない場合があります。
しかし、ある条件のもとでは、極大イデアルの逆像が極大イデアルになります。
- $\varphi$ が全射準同型であるとき
- $A, B$ が代数的閉体 $k$ 上有限生成で、$\varphi$ が $k$ 準同型であるとき
2 つ目の条件は代数多様体論における基本的な事実なので、教科書に証明が載っていると思います。以下、これらを証明します。
$\varphi$ が全射のとき
$\mathfrak{m}^{\prime} \subset B$ を極大イデアルとします。このとき、準同型定理から単射準同型
$$A / \varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime}) \hookrightarrow B / \mathfrak{m}^{\prime}$$
が存在しますが、$\varphi$ が全射なので同型であり、$B / \mathfrak{m}^{\prime}$ は体なので $A / \varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime})$ も体になります。よって $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime})$ は極大イデアルになります。
$\varphi$ が代数的閉体 $k$ 上有限生成代数の間の準同型のとき
$A, B$ を代数的閉体 $k$ 上有限生成代数で、$\varphi: A \to B$ は $k$ 準同型であるとします。$\mathfrak{m}^{\prime} \subset B$ を極大イデアルとすると、$B$ が $k$ 上の有限生成代数なので $B / \mathfrak{m}^{\prime}$ は $k$ の有限次拡大体になります。体の有限次拡大は代数拡大であり、$k$ は代数的閉体なので、$B / \mathfrak{m}^{\prime} \simeq k$ となります。このとき、単射準同型
$$A / \varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime}) \hookrightarrow B / \mathfrak{m}^{\prime} \simeq k$$
は $A / \varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime})$ が $k$ 代数であることから全射であり、同型になります。よって $A / \varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime}) \simeq k$ であり、$\varphi^{-1}(\mathfrak{m}^{\prime})$ は極大イデアルになります。
イデアルの像
イデアル $I \subset A$ の像 $\varphi(I) \subset B$ は一般にはイデアルにはなりません。例えば、$k$ を代数的閉体とし、自然な包含写像
$$\varphi: k[x_1] \hookrightarrow k[x_1, x_2]$$
を考えます。イデアル $(x_1) \subset k[x_1]$ の像 $\varphi((x_1))$ は $x_1$ を含みますが、$x_2 x_1$ を含まないので $k[x_1, x_2]$ のイデアルにはなりません。$(x_1) \subset k[x_1]$ は極大イデアルなので、素イデアルや極大イデアルでも、その像はイデアルにはなりません。
しかし、特定の条件のもとではイデアルの像がイデアルになることがあります。
イデアル
$\varphi$ が全射の場合は、イデアルの像がイデアルになります。
これを確認しましょう。$I \subset A$ をイデアルとし、$x^{\prime}, y^{\prime} \in \varphi(I)$ に対して $\varphi(x) = x^{\prime}$, $\varphi(y) = y^{\prime}$ を満たす $x, y \in I$ をとると、
$$x^{\prime} + y^{\prime} = \varphi(x) + \varphi(y) = \varphi(x + y)$$
なので $x^{\prime} + y^{\prime} \in \varphi(I)$ となります。また、$b \in B$ に対して $\varphi(a) = b$ を満たす $a \in A$ をとると、
$$bx^{\prime} = \varphi(a) \varphi(x) = \varphi(ax)$$
なので $b x^{\prime} \in \varphi(I)$ となります。よって $\varphi(I)$ はイデアルになります。
素イデアル
$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の像 $\varphi(\mathfrak{p}) \subset B$ は、$\varphi$ が全射かつ $\operatorname{Ker} \varphi \subset \mathfrak{p}$ のとき素イデアルになります。
これを確認しましょう。すでに示したように、$\varphi(\mathfrak{p})$ は $B$ のイデアルです。このとき、
$$\mathfrak{p} \subset \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$$
なので、自然な全射準同型
$$A / \mathfrak{p} \to A / \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p})) \simeq B / \varphi(\mathfrak{p})$$
が存在します。もし $\mathfrak{p} = \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$ であれば、上記の全射準同型は同型写像になり、$A / \mathfrak{p}$ が整域であることから $\varphi(\mathfrak{p})$ が素イデアルであることがわかります。そこで
$$\operatorname{Ker} \varphi \subset \mathfrak{p} \Rightarrow \mathfrak{p} = \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$$
を示しましょう。
$x \in \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$ とします。このとき、$y \in \mathfrak{p}$ で $\varphi(y) = \varphi(x)$ を満たすものが存在します。ここで、
$$x -y \in \operatorname{Ker} \varphi \subset \mathfrak{p}$$
かつ $y \in \mathfrak{p}$ なので $x -y + y = x \in \mathfrak{p}$ となり、$\mathfrak{p} \supset \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$ がわかります。これで $\varphi(\mathfrak{p})$ が素イデアルであることがわかりました。( ちなみに
$$\operatorname{Ker} \varphi = \varphi^{-1}(0) \subset \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$$
なので、
$$\operatorname{Ker} \varphi \subset \mathfrak{p} \Leftrightarrow \mathfrak{p} = \varphi^{-1}(\varphi(\mathfrak{p}))$$
が成り立ちます。)
この事実は [U] の 2章で $\mathbb{Z}[X]$ の素イデアルを求めるときに使われます。
ちなみに $\operatorname{Ker} \varphi \subset \mathfrak{p}$ は必要条件ではないようです。例えば $k$ を代数的閉体として $x_2$ に $0$ を代入する準同型 $\varphi: k[x_1, x_2] \to k[x_1]$ を考えると、素イデアル $(x_1) \subset k[x_1, x_2]$ の像は $(x_1) \subset k[x_1]$ となり、素イデアルですが、$x_2 \notin (x_1)$ なので $\operatorname{Ker} \varphi \not\subset (x_1)$ です。
一方で単に全射であるだけでは $\varphi(\mathfrak{p})$ は素イデアルにならないようです。自然な写像 $\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ において、素イデアル $(3) \subset \mathbb{Z}$ の像は $\varphi((3)) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ となり、素イデアルではありません。
極大イデアル
イデアルの像が極大イデアルになる条件は今のところ見つけられていません。見つけ次第追記していきます。
参考資料
StackExchange: How to prove that the image of a prime ideal is also a prime ideal
[U] 上野 健爾. 代数幾何