円周率

• 2024.07.27

トーナメントの総数とカタラン数と円周率

        カタラン数 (Catalan number) とは整数 $n \geq 0$ に対して定まる自然数 $C_n$ で、以下の式で定まるものです。 $$C_0 = 1, \quad C_n = \sum_{k = 1...

続きを読む

• 2024.07.07

スターリングの公式を用いて円周率を計算する

        以下の動画では、スターリングの公式を用いて円周率を計算しています。この記事ではその内容のまとめと補足を行います。 https://youtu.be/JeoKRczukRg スターリングの公式の概要 ...

続きを読む

• 2024.05.30

Lehmer 指標の意味をより正確に知りたい

        この記事は、以下の記事 「円周率の arctan公式の良さを表す Lehmer 指標について」 の補足記事であり、Lehmer 指標が「円周率の計算精度を一桁上げるのために計算が必要な項数」の2倍であること...

続きを読む

• 2024.05.30

円周率の arctan 公式の良さを表す Lehmer 指標について

        https://youtu.be/8wxg0Es6XyY $\arctan$ を用いた円周率の公式は多く (無限個) 存在し、例えば \begin{align} \frac{\pi}{4} &=...

続きを読む

• 2024.04.28

冪級数のオイラー変換とarctan公式

        https://youtu.be/ri6e3R4neu4 オイラーは $\arctan$ 公式 $$\frac{\pi}{4} = 5\arctan \frac{1}{7} + 2\arctan \fr...

続きを読む

• 2024.04.24

マチンの円周率公式とその見つけ方、作り方

        この記事は 2024/4/13 に公開した以下の動画の内容を簡易的にまとめたものです。 https://youtu.be/gAjhNfIlInI この動画では主に マチンの公式の証明 円周...

続きを読む

• 2024.03.24

ヴィエトの円周率公式とアルキメデスの方法の関係

        ヴィエトの公式は \begin{align} \frac{2}{\pi} &= \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\fra...

続きを読む

• 2024.03.09

円の面積をテイラー展開で求める (級数の収束について)

        半径 $1$ の円の方程式は $$x^2 + y^2 = 1$$ で与えられるので、円の面積は $$4\int_0^1 \sqrt{1 -x^2} dx$$ で与えられます。また、円の面積の公式...

続きを読む

• 2024.03.05

収束半径の境界上での冪級数の振る舞いについて

        以下の記事で、冪級数の収束半径や、収束半径の内側での四則演算、微積分について述べました。 「収束冪級数に許される演算」 しかし、収束半径のちょうど境界の上での振る舞いについては全く触れませんでした。そこでこ...

続きを読む

• 2023.11.25

自然数を2つ選べば円周率が求まる説の補足

        自然数の集合から無作為に 2 つ自然数を選んで (重複を許す)、それが互いに素である確率は $6/\pi^2$ であることが知られています。以下の動画では、この事実を用いて円周率を求めました。 https://...

続きを読む