ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第3回(10月21日)3限

今回は、京都大学OCWで3回生向けに後期に行われたガロア理論の講義の第3回の内容の要約をします。この日は2限と3限の両方が講義だったようですが、まとめると長いので、この記事では3限の内容のみまとめます。

  1. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:目次
  2. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第1回(10月7日)
  3. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第2回(10月14日)
  4. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第3回(10月21日)2限
  5. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第3回(10月21日)3限 ←今回
  6. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第4回(10月28日)
  7. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第5回(11月4日)
  8. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第6回(11月11日)
  9. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第7回(11月18日)
  10. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第8回(12月2日)
  11. ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第9回(12月9日)

代数閉包の存在の証明 (前回の続き) (00:25 ~)

代数閉包の存在の証明は2つステップがあり、一つは易しいが、もう一つは難しいです。難しい方のステップは、$K$ を体としたときに、$K$ を含む代数閉体が存在するということを証明することです。それができると、代数閉包はその代数閉体の中で $K$ 上代数的な元全てを考えれば良いので、それは易しいです。最初に、難しい方のステップをやります。

集合の濃度に関する復習 (01:05~)

集合の濃度に関する復習をします。

冪集合の濃度 (01:05~)

$S$ を集合とし、$\mathcal{P}(S)$ を $S$ の冪集合 (部分集合全体の集合) とします。$|S| = \infty$ の場合、常に $|S| < \mathcal{P}(S)$ (真に大きい) であることが知られています (対角線論法を使う)。

濃度の定義について (03:02~)

集合の濃度は、定義がめんどくさいので、この講義では行いませんが、順序数という概念があって、集合が与えられたときに、それと一対一に対応する順序数がただ一つ存在し、その順序数の濃度を集合の濃度と定めます (後ほど補足します)。

(09:07~) 集合全体に、全単射が存在するということを同値関係として、それで割ったものを濃度と定義することは、集合全体が集合でないので、できません。

濃度の大小 (04:17 ~)

一般的に次のことが知られています。$S_1, S_2$ を集合とすると、選択公理を仮定すれば、単射 $S_1 \to S_2$ または $S_2 \to S_1$ が存在します。単射 $S_1 \to S_2$ が存在するとき $|S_1| \leq |S_2|$、単射 $S_2 \to S_1$ が存在するとき、$|S_2| \leq |S_1|$ となります。両方が存在するとき、全単射 $S_1 \to S_2$ が存在し、濃度が等しくなることが知られています。$|S_1| < |S_2|$ であるとき、全単射 $S_2 \to S_1$ は存在しません。

濃度の演算 (06:40 ~)

$|S| = \infty$ かつ、$S_1 \neq \varnothing$, $|S_1| \leq |S_2| = \infty$ ならば

\begin{align} |S\times S| &= |S| \\ |S \coprod S| &= |S| \\ |S_1 \times S_2 | &= |S_2| \end{align}

が成り立ちます。

順序数に関する補足

順序数に関して簡単に補足します。

集合 $X_1, X_2$ の濃度の大小の比較は、順序数の概念なし単射の有無で定義できますが、$X_1$ の濃度は〇〇である、のような主張をするには、〇〇に相当するものを数学的に構成する必要があります。

集合 $\alpha$ が推移的集合であるとは、$x \in y \in \alpha$ ならば $x \in \alpha$ を満たすことで、例えば $\varnothing$, $\{\varnothing\}$, $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ は推移的集合です。$\alpha$ が推移的集合であり、さらに $\in$ が $\alpha$ 上の非反射的順序 ($\leq$ ではなく $<$ の性質を満たすもの) になり、この順序に関して整列集合であるとき、$\alpha$ を順序数と言います ([F])。

集合論的には

\begin{align} \varnothing &= 0 \\ \{\varnothing\} &= 1 \\ \{\varnothing, \{\varnothing\}\} &= 2 \\ \{\varnothing, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\} &= 3 \\ & \cdots \end{align}

と定められるので、任意の自然数は順序数であり、$\mathbb{N} = \{0, 1, 2 \cdots\}$ (順序数の文脈では $\omega$ と書かれることが多い) も順序数となります。

順序数自体も、$\in$ により (非反射的) 順序が定まります (例えば上の定義だと $1 \in 2 \in 3$)。ただし、順序数全体は集合にならないようです (ブラリ=フォルティの定理 [Wiki2])。順序数 $\alpha$ に対して $S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\}$ も順序数になり、$\alpha$ の直後の順序数といいます。

順序数 $\alpha$ は、$\beta < \alpha$ を満たす任意の順序数 $\beta$ に対して $|\beta| < |\alpha|$ が成り立つとき、基数と言います。例えば、$\omega$ は基数です。任意の集合 $X$ に対して $|X| = |\alpha|$ となる基数が存在することが知られています。これにより、$X$ の濃度を基数によって表すことができます。

ちなみに講義中で、$X$ からの全単射が存在する順序数 $\alpha$ がただ一つ存在する、と述べられていますが、$\mathbb{N}$ から $\omega$ への全単射が存在し、$\mathbb{N}$ から $S(\omega)$ への全単射も存在するので、これは誤りだと思われます。順序数ではなく基数であれば、この主張は正しいです。

代数閉包の存在の証明 (07:42~)

命題. (07:49 ~)

$K$ を体とする. このとき, $K$ の代数閉包が存在する.

(証明の概要) : Zornの補題を用いる. $|K| < \infty$ のとき, $X$ を $\mathbb{C}$ と同じ濃度を持ち, $K$ を含む集合とする. $|K| = \infty$ のときは $X = \mathcal{P}(K)$ とする. $x \in K$ に対して $\{x\} \in X$ なので, $K \subset X$ とみなせる. ここで,

$$Y = \left\{(L, +, \cdot) \ \middle| \ \begin{align} & K \subset L \subset X, \\ &(L, +, \cdot) \textrm { は } K \textrm{ の代数拡大} \end{align}\right\}$$

とおく (講義中では $(L, +, \cdot)$ を単に $K$ の拡大体としていますが, それだと今から構成するものが代数閉包であることが保証されません). $Y$ が集合であることは次のようにしてわかる. $+ : L\times L \to L$ なので, $+$ のグラフを考えれば, $+$ は $L \times L \times L \subset X \times X \times X$ の部分集合とみなせる. $\cdot$ も同様. よって

$$Y \subset \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X \times X \times X) \times \mathcal{P}(X \times X \times X)$$

となる (講義中では

$$Y \subset \mathcal{P}(X) \times \left( \mathcal{P}(X \times X \times X) \coprod \mathcal{P}(X \times X \times X)\right)$$

としているが、おそらく誤り). よって $Y$ は集合である.

$L_1, L_2 \in Y$ に対して, $L_1/L_2$ が拡大体なら $L_1 \geq L_2$ と定めることで, $Y$ に順序を定める. これは帰納的順序集合になる. よって Zorn の補題から, 極大元 $L_{\max}$ が存在する.

$L_{\max}$ が代数閉体でなければ, 2次以上の既約多項式 $f(x)$ が存在する. $F = L_{\max}[x] / (f(x))$ は $L_{\max}$ の代数拡大であり, $K$ の代数拡大でもある. $F$ と同型な体が $X$ に含まれることを示せば, それは $L_{\max}$ の極大性に反するので矛盾である.

前回示したことから, $|F|$ は, $|K| < \infty$ ならば高々可算, $|K| = \infty$ ならば $|F| = |K|$ である. 従って, $|X| > |F|, |L_{\max}|$ であり,

$$|X| = |X \setminus L_{\max}| > |F \setminus L_{\max}|$$

である. よって単射 $\varphi: F \setminus L_{\max} \to X \setminus L_{\max}$ が存在する. $M = L_{\max} \cup \varphi(F \setminus L_{\max})$ は $X$ に含まれ, $F$ と一対一に対応する. よって $L_{\max} < M \in Y$ となり, 矛盾. $\Box$

代数閉包の一意性の証明 (34:05 ~)

講義では、一意性の証明の途中で以下の補題を証明されますが、この記事では先に述べます。

補題. (43:12 ~)

$L_1 ,M$ を $K$ の拡大体, $M$ を代数閉体とし, $\varphi: L_1 \to M$ を $K$ 準同型とする. このとき, $L_2 = L_1(\alpha)$ が代数拡大ならば, $K$ 準同型 $\psi: L_2: \to M$ で, $\psi|_{L_1} = \varphi$ を満たすものが存在する.

(証明の概略): $\alpha$ の $L_1$ 上の最小多項式を

$$f(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \quad (a_1, \cdots, a_n \in L_1)$$

とおき,

$$g(x) = x^n + \varphi(a_1) x^{n-1} + \cdots + \varphi(a_n)$$

とおく. このとき, $g(x)$ は $\varphi(L_1)[x]$ 上既約である. $\varphi$ は単射なので

$$L_1(\alpha) \simeq L_1[x]/(f(x)) \simeq \varphi(L_1)[x]/(g(x))$$

であり, $\varphi(L_1) \subset M$ かつ $M$ は代数閉体なので, $\beta \in M$ が存在して, $g(\beta) = 0$ を満たす. このとき,

$$\omega: \varphi(L_1)[x]/(g(x)) \ni x \mapsto \beta \in M$$

は $K$ 準同型であり,

$$L_1(\alpha) \simeq L_1[x]/(f(x)) \simeq \varphi(L_1)[x]/(g(x)) \xrightarrow{\omega} M$$

の合成を $\psi$ とおくと, これが求めるものである. $\Box$

定理. 代数閉包の一意性 (34:18 ~)

$K$ を体とする. $K$ の代数閉包 $L_1, L_2$ と代数拡大 $L_1 \supset M_1 \supset K$ と $L_2 \supset M_2 \supset K$ があり, $K$ 同型 $\varphi: M_1 \to M_2$ が存在するとする. このとき $K$ 同型 $\psi: L_1 \to L_2$ で, $\psi$ の $M_1$ への制限が $\varphi$ と一致するものが存在する. 特に, $K$ 同型 $\mathrm{id}: K \to K$ に対して $K$ 同型 $\psi: L_1 \to L_2$ が存在する.

(証明の概略) : Zornの補題を用いる. $X$ を

$$X = \left\{(F, \psi) \ \middle | \ \begin{align} & L_1 \supset F \supset M_1 \textrm{ は中間体 }, \\ & \psi: F \to L_2 \textrm{ は } K \textrm{ 準同型 }, \\ & \psi|_{M_1} = \varphi \end{align} \right\}$$

とおく (講義では $\psi$ を $K$ 同型としているが, おそらく誤り. それだと $X \neq \varnothing$ が非自明. しかしそれだと $K$ 同型であることが非自明になるので, 補足する). $(M_1, \varphi) \in X$ なので $X \neq \varnothing$. $(F_1, \psi_1), (F_2, \psi_2) \in X$ に, $F_1 \supset F_2$ かつ $\psi_1|_{F_2} = \psi_2$ を満たすときに

$$(F_1, \psi_1) \geq (F_2, \psi_2)$$

と定めると, 帰納的順序集合になり, $X$ に極大元 $(F_{\max}, \psi_{\max})$ が存在する.

(51:11 ~) $F_{\max} \neq L_1$ と仮定すると, $\alpha \in L_1 \setminus F_{\max}$ をとり, $F^{\prime} = F_{\max}(\alpha)$ とおけば, 先ほどの補題から $\psi_{\max}$ は $K$ 準同型 $F^{\prime} \to L_2$ に延長できる. よって矛盾.

($K$ 同型であることの補足) $\psi_{\max}: L_1 \to L_2$ は体の準同型なので単射. よって $K \subset \psi_{\max}(L_1) \subset L_2$. $L_2 / K$ は代数拡大なので $L_2 / \psi_{\max}(L_1)$ も代数拡大である. ここで $\psi_{\max}(L_1)$ は代数閉体なので, $L_2 = \psi_{\max}(L_1)$ となり, $\psi_{\max}$ は全射である. 従って $\psi_{\max}$ は $K$ 同型である.$\Box$

分離拡大 (53:00~)

なぜ分離拡大を考えるのか (53:15~)

分離拡大かつ正規拡大 (まだ定義していません) であるものをガロア拡大といいます。$L/K$ が代数拡大であるとき, $\operatorname{Aut}_K^{al}L$ がガロア群であるが, これが $L$ に関して十分多くの情報を持っていないと, $L/K$ の中間体が $\operatorname{Aut}_K^{al}L$ の部分群と対応するということはいえません。$\operatorname{Aut}_K^{al}L$ が十分大きいことを保証するために、分離拡大と正規拡大という概念が必要になります。

これがどのような方針で示されるかというと、まず、$\overline{K}$ を $K$ の代数閉包として $\operatorname{Hom}_K^{al}(L, \overline{K})$ が十分大きいことを示し、これが $\operatorname{Aut}_K^{al}L$ と一致することを示します。$\operatorname{Hom}_K^{al}(L, \overline{K})$ が十分大きいことを保証するのが分離拡大で、それが $\operatorname{Aut}_K^{al}L$ と一致することを保証するのが正規拡大です。

分離拡大の定義 (56:37 ~)

以後、体 $K$ とその代数閉包 $\overline{K}$ を一つ固定します。

定義. (57:14 ~)

  1. $f(x) \in K[x]$ に対して $\alpha \in \overline{K}$ が存在し, $f(x)$ が $\overline{K}$ において $(x -\alpha)^2$ で割り切れるならば, $\alpha$ を $f(x)$ の重根という.
  2. $f(x)$ が $\overline{K}$ で重根を持たないとき, 分離多項式という.
  3. $\alpha \in \overline{K}$ の最小多項式が分離多項式であるとき, $\alpha$ は $K$ 上分離的であるという. そうでないとき, $K$ 上非分離的であるという.
  4. $L/K$ を代数拡大とする. $L$ の任意の元が $K$ 上分離的であるとき, $L$ を分離 (代数) 拡大という. $L \setminus K$ が全て非分離的なら、純非分離拡大という.
  5. $K$ の任意の代数拡大が分離拡大ならば, $K$ を完全体という. $\Box$

命題. (1:03:13~)

$L/K$ を拡大体, $M$ をその中間体とし, $\alpha \in L$ とする. このとき, $\alpha$ が $K$ 上分離的であるならば, $M$ 上分離的である.

(証明の概略) : $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式を $f(x)$, $M$ 上の最小多項式を $g(x)$, とする. このとき $g(x)$ は $f(x)$ を割るので, $f(x)$ が重根を持たなければ $g(x)$ も持たない. $\Box$

命題. (1:04:22 ~)

$f(x) \in K[x]$, $\alpha \in \overline{K}$ とし, $f(\alpha) = 0$ を満たすとする. このとき,

  1. $\alpha$ は $f(x)$ の重根であること
  2. $f^{\prime}(\alpha) = 0$ であること ($f^{\prime}(x)$ は $f(x)$ の微分)

は同値である.

(証明の概略) : (1) $\Rightarrow$ (2) は, $f(x) = (x -\alpha)^2 g(x)$ を微分すればわかる. (2) $\Rightarrow$ (1) は, $f(x) = (x -\alpha) g(x)$ とおいて微分すると, $g(\alpha) = 0$ がわかる. $\Box$

系 (1:08:08 ~)

以下の2つは同値である.

  1. $f(x)$ は重根を持たない.
  2. $f(x)$ と $f^{\prime}(x)$ は互いに素.$\Box$

証明は次回にまわします。

例. (1:09:04 ~)

$f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ を

$$f(x) = x^3 + 4x +2$$

として, $f(x)$ が重根を持つ素数 $p$ を求める. $p =2$ のときは $f(x) = x^3$ なので, 重根を持つことは明らか. $p = 3$ のときは $f^{\prime}(x) = 1$ なので, $f(x)$ と $f^{\prime}(x)$ は互いに素だから重根を持たない. それ以外のときは, 互除法を使って, ある 1 次式と $f^{\prime}(x)$ が互いに素であることを確認すれば良い. 結果, $p = 2, 7, 13$ のときに重根を持つことがわかる (詳細は動画を見てください). $\Box$

判別式 (1:15:45 ~)

詳しくはやりませんが、$f(x)$ と $f^{\prime}(x)$ が共通根を持つことと、$f$ の判別式が $0$ であることが同値であることが知られています。例えば、

$$f(x) = x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3$$

のとき

$$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2a_1 x^1 + a_2$$

であり、判別式は

$$\Delta(f) = \det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_3 & 0 \\ 0 & 1 & a_1 & a_2 & a_3 \\ 3 & 2a_1 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2a_1 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2a_1 & a_2 \\ \end{pmatrix}$$

で与えられます。判別式の元々の定義は

$$f(x) = a_0(x -\alpha_1) \cdots (x -\alpha_n)$$

のとき、

$$\Delta(f) \underset{\text{def}}{=} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_0^{2n -1} \prod_{i < j}(\alpha_i -\alpha_j)^2$$

で与えられます。これが上記の行列式と等しいことは非自明です。数式処理ソフトの MAPLE で計算することができます。

次回

ガロア理論の講義(OCW)を要約する:第4回(10月28日)

参考文献

[F] 藤田 博司 (愛媛大学理学部). 集合・濃度・順序数・基数

[Wiki1] Wikipedia. 濃度 (数学)

[Wiki2] Wikipedia. 順序数