数学

複素代数方程式の根の連続性の証明【ルーシェの定理の応用】

複素数係数の代数方程式の根が係数に関して連続であるか、気になったことはありませんか？あるいは、証明しようとして困ったことはありませんか？4次以下の方程式は、ガロア理論により四則演算と冪根を取る操作で根が表せられるので、...

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位相空間の圏には monomorphism かつ epimorphism だけど、isomorphism でない射が存在します。まず、 monomorphism, epimorphism, isomorphism を定...

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「圏論的集合論集合圏とトポス」という本で、圏論の射の像が定義されることを知りました。トポスの場合に像が構成できることも示されているのですが、図式が省略されていたり、なぜその構成で像が出来るのか少し難しい気がしたので、...

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可微分多様体 $M$ には接ベクトル束 $\pi : TM \to M$ が自然に定義される。接ベクトル空間は多様体の次元と同じ次元のベクトル空間なので、異なる2点 $p, q \in M$ の接ベクトル空間 $T_p...

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数学では張り合わせによって数学的対象を構成することがよくあります。多様体はその典型的な例です。層は、張り合わせによる構成をとにかく一般化した概念であるといえます。層の定義するのに、まず前層が定義されますが、これらの差は...

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「ハウスドルフ空間上のコンパクト部分集合は閉集合である」という事実を、それぞれの頭文字をとってハコ閉の法則と呼ぶようです。これを証明しようと思います。その前に、ハウスドルフ空間とコンパクト集合の定義のおさらいをします。...

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ブローアップは複素幾何学や代数幾何学で良く用いられる操作です。分かってしまえば案外簡単なのですが、何をしようとしているかわからないと混乱しがちなので、もっとも簡単な実平面の場合の解説をします。実多様体論では使われること...

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$\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$ は、 $n \neq m$のとき同相ではありません。これを証明します。 $n < m$ とします。$n = 0$ のときは明らかなので、$n ...

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