数学

• 2022.01.26

ジェットとジェット束のまとめ

        ジェット (jet) について、日本語の詳しい情報が見当たらなかったので、まとめようと思います。個人的な勉強ノートくらいの気持ちで書いています。(いくつか間違いがある可能性があります。見つけたら修正していきます。) ...

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• 2022.01.04

ファイバー束の接続（接続の幾何１）

        接続という概念に最初に出会うのはリーマン幾何学のLevi-Civita接続だと思います。Levi-Civita接続は計量を保つ捩れのない接続と定義されますが、接続の「捩れ」は幾何学的な理解がかなり難しい概念のように思い...

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• 2021.12.09

逆関数定理、陰関数定理の証明【一点から局所的な情報を導く】

        多様体論で基礎となる3つの定理、逆関数定理、陰関数定理の証明を紹介します。これらは、写像の一点の情報からその点の局所的な性質を導くことのできる強力な定理です。逆関数定理と陰関数定理はどちらかを示せばもう一方が示されると...

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• 2021.10.05

【情報幾何学】m測地線は確率モデルと独立に定まらないのか

        統計学の問題設定は、基本的に次のようなものです。 データ $x_1, x_2, \dots, x_d$ が与えられています。 それらは $X$ ($=\mathbb{R}^n$ であることが多い) 上のデ...

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• 2021.08.29

複素代数方程式の根の連続性の証明【ルーシェの定理の応用】

        複素数係数の代数方程式の根が係数に関して連続であるか、気になったことはありませんか？あるいは、証明しようとして困ったことはありませんか？4次以下の方程式は、ガロア理論により四則演算と冪根を取る操作で根が表せられるので、...

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• 2021.07.10

【圏論】epiかつmonoだけどisoではない射の例

        位相空間の圏には monomorphism かつ epimorphism だけど、isomorphism でない射が存在します。まず、 monomorphism, epimorphism, isomorphism を定...

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• 2021.06.13

【圏論】圏論における射の像の定義

        「圏論的集合論 集合圏とトポス」という本で、圏論の射の像が定義されることを知りました。トポスの場合に像が構成できることも示されているのですが、図式が省略されていたり、なぜその構成で像が出来るのか少し難しい気がしたので、...

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• 2021.04.07

多様体上のリー微分と接続の共通点と相違点

        可微分多様体 $M$ には接ベクトル束 $\pi : TM \to M$ が自然に定義される。接ベクトル空間は多様体の次元と同じ次元のベクトル空間なので、異なる2点 $p, q \in M$ の接ベクトル空間 $T_p...

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• 2021.01.31

層でない前層の例：拡張が存在しない場合と一意でない場合

        数学では張り合わせによって数学的対象を構成することがよくあります。多様体はその典型的な例です。層は、張り合わせによる構成をとにかく一般化した概念であるといえます。層の定義するのに、まず前層が定義されますが、これらの差は...

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• 2021.01.31

【ハコ閉の法則】ハウスドルフ空間上のコンパクト部分集合は閉集合である

        「ハウスドルフ空間上のコンパクト部分集合は閉集合である」という事実を、それぞれの頭文字をとってハコ閉の法則と呼ぶようです。これを証明しようと思います。その前に、ハウスドルフ空間とコンパクト集合の定義のおさらいをします。...

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