数学

• 2023.06.21

sanov の定理の拡張とクラメールの定理

        以下の記事で sanov の定理を示しました。 「sanov の定理の証明」 しかし、sanov の定理が弱位相における開集合、閉集合にしか適用できないと、応用が制限されて不便です。本記事では、もっと一般の...

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• 2023.06.21

KL ダイバージェンスは τ-位相に関して good rate function である

        可分完備距離空間 (ポーランド空間) $S$ 上の確率測度全体 $\mathcal{P}(S)$ の、弱位相に関する sanov の定理を以下の記事で示しました。 「sanov の定理の証明」 しかし弱位相...

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• 2023.06.21

1次元のクラメールの定理の証明

        クラメールの定理は以下の記事 「統計的仮説検定とクラメールの定理」 で証明していますが、この記事ではキュムラント母関数が任意の点で有限であることを仮定していました。本記事では、キュムラント母関数の値が $\...

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• 2023.06.01

開区間上の凸関数は連続である

        開区間 $U \subset \mathbb{R}$ 上の凸関数 $f: U \to \mathbb{R}$ が連続であることを示します。ここで、凸関数であるとは、任意の $x, y \in U$ と任意の $0 \l...

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• 2023.04.15

半環上の加群の圏は proto-exact category である

        トロピカル幾何学に応用できる可能性がありそうな半環の理論を見つけたので紹介します。 PROTO-EXACT CATEGORIES OF MODULES OVER SEMIRINGS AND HYPERRINGS ...

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• 2023.04.03

半環と半加群の同型定理について

        半環とその上の半加群についての基本的な事項をまとめ、加群の同型定理と同様の命題が半加群においても成り立つのか考察します。 半環について 半環の定義 $R$ を空でない集合とします。$R$ が以下の条件...

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• 2023.03.24

sanov の定理の証明

        sanov の定理は大偏差原理の一種であり、統計的推論におけるKLダイバージェンスの最小化 (= 尤度の最大化) の意味を理解するのに必須の定理です。本記事では sanov の定理を証明します。概ね [TC] に沿って...

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• 2023.03.23

大偏差原理の基礎 (sanovの定理の証明の準備として)

        本記事では sanov の定理の証明を行う準備として、大偏差原理の基礎をまとめます。本記事は [TC] の内容を大いに参考にしており、概ね [TC] に沿って述べていますが、一部補完、省略、順番の変更等しています。 ...

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• 2023.03.23

ポーランド空間上の有限 Borel 測度全体の位相的性質

        ポーランド空間 (可分完備距離空間) $S$ 上の符号付有限 Borel 測度全体 $\mathcal{M}_{\mathbb{R}}(S)$ には全変動ノルム $||\cdot||_{var}$ による位相と弱位相の...

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• 2023.03.11

Prokhorov 距離と可分性、完備性、コンパクト性の遺伝

        距離空間 $(S, d)$ 上の Borel 確率測度全体の集合 $\mathcal{P}(S)$ には距離を定義することができ、元の距離空間のいくつかの特徴を引き継ぐことが知られています。例えば、可分性や完備性、コン...

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