ジェット (jet) について、日本語の詳しい情報が見当たらなかったので、まとめようと思います。個人的な勉強ノートくらいの気持ちで書いています。(いくつか間違いがある可能性があります。見つけたら修正していきます。)
目次
合成関数の高階微分
合成関数の2階微分、3階微分
$f, g \in C^{\infty} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ とします。$y = f(x)$, $z = g(y)$ とおいたとき、合成関数 $g \circ f$ の1階微分は、$\eta \in \{1, \dots, n\}$ に対して
$$\frac{\partial}{\partial x_i} (g \circ f)_{\eta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i}$$
です。2階微分は
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{\partial}{\partial x_i} (g \circ f)_{\eta} \right) & = \frac{\partial}{\partial x_j} \left(\sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} \right) \\ & = \sum_{\alpha} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \right) \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} + \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_j \partial x_i} \\ & = \sum_{\alpha} \left( \sum_{\beta} \frac{\partial^2 g_{\eta}}{\partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j} \right) \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} + \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_j \partial x_i} \\ & = \sum_{\alpha} \sum_{\beta} \frac{\partial^2 g_{\eta}}{\partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} + \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_j \partial x_i} \end{align}
となります。3階微分は
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial x_i} (g \circ f)_{\alpha} \right) & = \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_{\alpha} \sum_{\beta} \frac{\partial^2 g_{\eta}}{\partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} + \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_j \partial x_i} \right) \\ & = \sum_{\alpha} \sum_{\beta} \sum_{\gamma} \frac{\partial^3 g_{\eta}}{\partial y_{\gamma} \partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\gamma}}{\partial x_k}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} \\ & \qquad + \sum_{\alpha} \sum_{\beta} \frac{\partial^2 g_{\eta}}{\partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \left( \frac{\partial^2 f_{\beta}}{\partial x_k \partial x_j} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} + \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_k \partial x_i} + \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_j \partial x_i} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_k} \right) \\ & \qquad + \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^3 f_{\alpha}}{\partial x_k \partial x_j \partial x_i} \\ & = \sum_{\alpha} \sum_{\beta} \sum_{\gamma} \frac{\partial^3 g_{\eta}}{\partial y_{\gamma} \partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \frac{\partial f_{\gamma}}{\partial x_k}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_i} \\ & \qquad + \sum_{\alpha} \sum_{\beta} \frac{\partial^2 g_{\eta}}{\partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}} \left( \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_i} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_k \partial x_j} + \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_j} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_k \partial x_i} + \frac{\partial f_{\beta}}{\partial x_k} \frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial x_j \partial x_i} \right) \\ & \qquad + \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\eta}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^3 f_{\alpha}}{\partial x_k \partial x_j \partial x_i} \end{align}
となります。最後の等式は $\frac{\partial{g_{\eta}}}{\partial y_{\alpha} \partial y_{\beta}} = \frac{\partial{g_{\eta}}}{\partial y_{\beta} \partial y_{\alpha}}$ を用いて添字を入れ替えました。
高階微分の連鎖律
$\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ に対し、$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ とおいて、
$$ |\alpha| = \sum_i \alpha_i$$
$$ \frac {\partial f^{|\alpha|}}{\partial x^{\alpha}} = \frac{\partial f^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}}$$
とします。$\alpha$ を多重指数といいます。
集合 $X$ の部分集合の集合 $\pi = \{X_1, \dots, X_k \}$ で、条件
- 任意の $1 \leq i \leq k$ に対して $X_i \neq \emptyset$ 。
- 任意の $1 \leq i, j \leq k$ に対して $X_i \cap X_j = \emptyset$ 。
- $\bigcup_i X_i = X$ 。
を満たすとき、$\pi$ を $X$ の分割といいます。$|\pi| = k$ とし、$\Pi(X)$ を $X$ の分割全体の集合とします。
分割は部分集合の順序には依存しませんが、ここでは部分集合に順序が適当に定まっているとします。つまり $\pi$ の $i$ 番目の要素が定まるとします。例えば、$X = \{x_1, x_2, x_3\}$ の分割 $\pi_1 = \{ \{x_1, x_2\}, \{x_3\}\}$ と $\pi_2 = \{ \{x_3\}, \{x_1, x_2\}\}$ は同じ分割ですが、部分集合に (例えば辞書式) 順序が定まっていて、1番目の要素はどちらも $\{x_1, x_2\}$、2番目の要素はどちらも $\{x_3\}$ である、というように定まるものとします。
多重指数 $\alpha$ に対し、
$$P(\alpha) = \{ \underbrace{1, \dots, 1}_{\alpha_1 \text{個}}, \dots, \underbrace{n, \dots, n}_{\alpha_n \text{個}} \}$$
とし、$\Pi(\alpha) = \Pi (P(\alpha))$ とおきます。ただし、同じ値でも分割の際の要素としては区別するものとします。
以上の定義のもと、合成関数の微分について以下が成り立ちます。
\begin{align} \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^{\alpha}} (g \circ f)_{\eta} & = \sum_{\pi \in \Pi(\alpha)} \sum_{1 \leq a_1,\dots, a_{|\pi|} \leq n} \frac {\partial^{|\pi|} g_{\eta}}{\partial y_{a_1} \cdots \partial y_{a_n}} \prod_{\substack{1 \leq i \leq |\pi| \\ A_i \in \pi}} \frac{\partial^{|A_i|} f_{a_i}}{\prod_{j \in A_i} \partial x_j} \tag{*} \end{align}
これをFaà di Brunoの公式というようです ([Wiki1])。ここでは証明しませんが、帰納法で証明できると思います。計算自体は2階微分や3階微分の場合と同様のはずです。(ちなみに上記の式は [Wiki1]のを多変量版にアレンジしたものです。微分の順序交換による重複を考慮していません。間違っていたらすみません。)
ジェット
ジェットとは
$x \in \mathbb{R}^n$ とし、$x$ の開近傍 $U \subset X$ 上で定義された写像 $f \in C^{\infty}(U, \mathbb{R}^n)$ を考えます。$f$ の $x$ における $k$ ジェット $j_x^{k}(f)$ を、以下で定義する同値関係による商集合の元とします。
$f, g \in C^{\infty}(U, \mathbb{R}^n）$ に対し、$f \sim^{k} g$ であることを、$k = 0$ のときは $f(x) = g(x)$、$k \geq 1$ のときは任意の多重指数 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ で $|\alpha| \leq k$ であるものに対し、
$$f \sim^{k} g \Leftrightarrow \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^{\alpha}} = \frac{\partial^{|\alpha|} g}{\partial x^{\alpha}}$$
を満たすこととします。つまり、$k$ 階以下の微分が全て等しいとき同値とします。
ジェット空間
$V$ をベクトル空間とします。$V$ の $l$ 個のテンソル積を $V^{\otimes l}$ とし、そのイデアル $I$を
$$I = (v_1 \otimes \cdots \otimes v_n \ – \ v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)})_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}$$
とします。そして、$V$ の $l$ 次対称テンソル空間を
$$\mathrm{Sym}^l(V) = V^{\otimes l} / I$$
と定義します。
$f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ の$l$ 階微分 $D^{l} f$ は $l$ 個のベクトルに対し $\mathbb{R}^n$ を与えるものであり、また、入力のベクトルの順序に依存せず、各ベクトルについて線型であるため、
$$D^l f \in (\mathrm{Sym}^l(\mathbb{R}^n))^* \otimes \mathbb{R}^n$$
とみなせます。ここで、$(\mathrm{Sym}^l(\mathbb{R}^n))^*$ は $\mathrm{Sym}^l(\mathbb{R}^n)$ の双対空間です。よって、$k$ ジェット全体の集合を
$$ G^k(n) = \{j^k_0 (f) \mid f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n), f(0) = 0 \}$$
とおくと、
$$G^k(n) \subset (\mathbb{R}^n)^* \otimes \mathbb{R}^n \times (\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^n))^* \otimes \mathbb{R}^n \times \cdots \times (\mathrm{Sym}^k(\mathbb{R}^n))^* \otimes \mathbb{R}^n$$
とみなせます。1階の微分は逆行列を持つので $G^1(n) = GL_n \subsetneq (\mathbb{R}^n)^* \otimes \mathbb{R}^n$ です。逆に写像 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ の1階微分が逆行列を持ちさえすれば、逆関数定理から $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$ となりますので、$(\mathrm{Sym}^k(\mathbb{R}^n))^* \otimes \mathbb{R}^n$ の任意の元に対して、それを $k$ 階微分に持つ多項式を簡単に構成できます。よって、
$$G^k(n) = GL_n \times (\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^n))^* \otimes \mathbb{R}^n \times \cdots \times (\mathrm{Sym}^l(\mathbb{R}^n))^* \otimes \mathbb{R}^n \tag{**}$$
です。
ジェット群
$G^k(n)$ に積を $j^k_0(g) \cdot j^k_0(f) = j^k_0(g \circ f)$ で定めます。式 $(*)$ から合成関数の $k$ 階微分はそれぞれの関数の $k$ 階以下の微分で表せられるため、積は関数の取り方によらず定まります。これが群になることを確認しましょう。
単位元は $j^k_0(\mathrm{id})$ となります。これは定義から明らかですが、$\mathrm{id}$ の1階微分は単位行列であること、2階以上の微分が $0$ であることと、式 $(*)$ の $|\pi| = 1$ の項または $|\pi| = |\alpha|$ の項を計算することでも確認できます。
逆元も定義から、$j^k_0(f)^{-1} = j^k_0(f^{-1})$ であることが明らかですが、これも式 $(*)$ を用いて計算することでも確認できます。
最後に結合法則
$$\left(j^k_0(h) \cdot j^k_0(g)\right) \cdot j^k_0(f) = j^k_0(h) \cdot \left(j^k_0(g) \cdot j^k_0(f)\right)$$
ですが、これは両辺とも $j^k_0(h \circ g \circ f)$ に一致するため成り立ちます。式 $(*)$ を用いて確認しようとすると、とても大変です。
$G^k(n)$ をジェット群といいます。$(**)$ から定まる位相により、リー群となります。
$k+1$ 階の微分を忘れる射影 $p: G^{k+1}(n) \to G^{k}(n)$ は、明らかに連続な全射準同型です。$e = j^k_0(\mathrm{id})$ とし、$N = p^{-1}(e)$ とおくと、$N$ は $G^{k+1}(n)$ の閉部分群となります。$g \in G^{k+1}(n)$ に対し、
$$p(gNg^{-1}) = p(g)p(N)p(g^{-1}) = p(g)(p(g))^{-1} = j^k_0(\mathrm{id})$$
が成り立ち、$gNg^{-1} \subset N$ がわかります。よって $N$ は $G^{k+1}(n)$ の正規部分群であり、$G^{k+1}(n) / N = G^{k}(n)$ が成り立ちます。
$N$ の元は $k \leq 1$ のとき、$1$ 階微分が単位行列、$l$ 階微分 ($1 < l < k+1$) が $0$、$k+1$ 階微分の値が任意の値を取ります。式 $(*)$ を眺めると、$n_1, n_2 \in N$ の積 $n_1 n_2$ は $k+1$ 階微分の各成分毎の足し算になります。
ジェット束
$M$ を $n$ 次元多様体とします。$\mathbb{R}^n$ の原点の近傍から $M$ への局所微分同相 $\varphi$ の原点での $k$ ジェット $j^k_0 (\varphi)$ 全体の集合 $J^k(M)$ は自然に $C^{\infty}$ 多様体の構造を持ち、自然な射影 $J^k(M) \ni j^k_0(\varphi) \mapsto \varphi(0) \in M$ は $G^k(n)$ を構造群とする主束となります。$J(M)$ を $M$ の $k$ 次のジェット束または $k$ 次の接枠束と言います。
高次のジェットが低次のジェットの多様体としての微分を与えることを確認します。つまり、$\eta \in J^{k+1}(M)$ とし、$\varphi: \mathbb{R}^n \to M$ が $\eta = j^{k+1}_0(\varphi)$ を満たすとしたとき、 $\eta$ が 線形同型
$$J^k(\eta): T_{\mathrm{id}}J^k(\mathbb{R}^n) \to T_{j^k_0(\varphi)}M$$
を誘導することを確認します。そのために、まず $x \in J^k(\mathbb{R}^n)$ を
$$x = (x_i, x_i^j, \dots, x_i^{j_1 \cdots j_{k}})$$
と表します。$(x_i)^i \in \mathbb{R}^n$, $(x_i^j)_{ij} \in GL_n$ であり、任意の $\sigma \in \mathfrak{S}_l$ ($2 \leq l \leq k$) に対し $x_i^{j_1 \cdots j_l} = x_i^{\sigma(j_1) \cdots \sigma(j_l) }$ を満たします。$\bar{x}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ を $j^k_0(\bar{x}) = x$ をみたす関数とすると、
$$x_i^{j_1 \dots j_l} = \frac{\partial^l \bar{x}_i}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_l}}(0)$$
です。$\tilde{\varphi}: J^k(\mathbb{R}^n) \to J^k(M)$ を $\tilde{\varphi}(x) = j^k_0(\varphi \circ \bar{x})$ と定義すると、その微分が $\eta$ のみに依存することが以下のようにわかります。
$\varphi_i^{j_1 \cdots j_l} = \frac{{\partial}^l \varphi_i }{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_l}}$ とおくと、$j^k_0(\varphi \circ \bar{x})$ の$1$階以上の成分は $x_i^j, \dots, x_i^{j_1 \cdots j_{k}}$ と $\varphi_i^j, \dots, \varphi_i^{j_1 \cdots j_{k}}$ の多項式で表されます。$\varphi_i^j, \dots, \varphi_i^{j_1 \cdots j_{k}}$ は $(x^i)_i$ のみに依存する関数であるため
$$\frac{\partial \varphi_i^{j_1 \cdots j_l}}{\partial x_{i^\prime}^{j^{\prime}_1 \cdots j^{\prime}_s}} = 0 \quad (0 \leq l \leq k, 1 \leq s \leq k)$$
であり、$j^k_0(\varphi \circ \bar{x})$ の$1$階以上の成分の微分は $\varphi$ の $k+1$ 階より大きい微分の値には影響されません。よって、$\tilde{\varphi}$ の微分は $\eta$ から決定されます。
まとめ
最後の方は駆け足になってしまいました。その内補足していくかもしれません。
参考文献
[Wiki1] Faà di Bruno’s formula
[Wiki2] Partition of a set
[Wiki3] Jet (mathematics)
[Wiki4] Jet bundle
[Wiki5] Jet group
[森田] 森田茂之. 特性類と幾何学