位相空間の圏には monomorphism かつ epimorphism だけど、isomorphism でない射が存在します。まず、 monomorphism, epimorphism, isomorphism を定義しましょう。
定義. monomorphism, epimorphism
$C$ を圏とし $f: X \to Y$ を $C$ の射とする. 射 $g, h: Z \to X$ に対し $f \circ g = f \circ h$ を満たすならば常に $g = h$ であるとき, $f$ は monomorphism であるという. また, 射 $g^{\prime}, h^{\prime} : Y \to W$ に対し $g^{\prime} \circ f= h^{\prime} \circ f$ を満たすならば常に $g^{\prime} = h^{\prime}$ であるとき, $f$ は epimorphism であるという. $\Box$
定義. isomorphism
$C$ を圏とする. $f: X \to Y$ が isomorphism であるとは, ある $g: Y \to X$ が存在して, $g \circ f = 1_{X}$, $f \circ g = 1_{Y}$ を満たすことである. ここで, $1_{X}, 1_{Y}$ はそれぞれ $X$ の恒等射, $Y$ の恒等射である. $\Box$
monomorphism のことを mono射もしくはmono、モニック射、モノ射と呼ぶことがあります。epimonomorphismもepi射もしくはepi、エピック射、エピ射と呼ぶことがあります。isomorphism は iso と呼ぶことがあります。
集合の圏ではmono射であることと単射であることが同値であり、epi射であることと全射であることが同値、さらに iso であることと全単射であることが同値です。よって epi かつ mono は iso です。また、mono射は”対象の要素”間の単射と捉えるとができます。終対象 $1$ (集合の圏では1点集合) からの射 $1 \to X$ は $X$ の”要素”とみなせます。拡大解釈して $X$ への任意の射を $X$ の要素とみなすと、$f$ の合成で $X$ の要素は $Y$ の要素に対応します。mono射の条件はこの対応が単射であることを意味します。
さて、位相空間の圏ではmono射、epi射はどのような性質を満たすのでしょうか。位相空間の圏は位相空間を対象とし、連続写像を射とする圏です。$f$ をmono射とすると、$f$ が連続であることを一旦忘れて、集合間の射と思えば単射です。よって $f$ は連続かつ単射です。逆に $f$ が連続な単射であれば、集合間の写像とみなすことで、mono射の性質を満たすことが分かります。よって、位相空間の圏では mono射 $\Leftrightarrow$ 連続単射です。同様に、epi射 $\Leftrightarrow$ 連続全射です。よって、epiかつmonoな射は連続全単射と同値です。
しかし、位相空間の圏の isomorphim は同相写像、つまり逆写像が連続である必要があります。しかし、例えば $f: [0, 1) \to S^{1} \ (x \mapsto e^{2\pi i x})$ は連続全単射ですが、その逆写像は $f(0)$ の周りで連続ではありません ( $[0, 1)$ の開集合 $[0, 0.1)$ の像は$S^1$における開集合ではない)。よって、epi かつ mono であっても iso でない射が存在します。
位相空間の圏にはこのような汚い?例が結構あります。
