数学

• 2023.02.24

ChatGPTに数学の命題を証明させてみたら１行で矛盾した

        いまさらながら ChatGPT に数学の問題を解かせてみたら、回答が面白かったので記事にしようと思います。解かせた問題は以下になります。 「ハウスドルフ空間のコンパクト集合が閉集合であることを証明してください。」...

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• 2023.02.20

環準同型によるイデアルの対応まとめ

        可換環論では特に代数幾何の文脈において、環準同型によるイデアルの対応はとても重要です。しかし、基本的で単純なものほど、教科書中の証明において明らかであると飛ばされてしまい、たびたび手が止まってしまって面倒な思いをしまし...

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• 2023.02.11

距離空間上の Borel 確率測度全体は距離空間になる

        距離空間 $(S, d)$ 上の Borel 確率測度全体の集合 $\mathcal{P}(S)$ には距離を定義することができ、元の距離空間のいくつかの特徴を引き継ぐことが知られています。例えば、可分性や完備性、コン...

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• 2023.02.11

距離空間上の Borel 確率測度全体は距離空間になる (準備編)

        この記事は以下の記事を読むにあたっての予備知識をまとめたものです。同じ記事にすると長くなりすぎるので分けることにしました。 「距離空間上の Borel 確率測度全体は距離空間になる」 「Prokhorov...

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• 2023.01.02

統計的仮説検定とクラメールの定理

        統計的仮説検定は、仮説を正しいとした場合の期待値と実際の期待値のずれ具合により、仮説が正しいかどうかを検証する手法です。大偏差原理は期待値から外れる確率の漸近的な挙動を記述するものであり、仮説検定に応用できるのではない...

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• 2022.12.10

確率の合成と統計モデル【Giryモナド】

        統計モデル (=確率モデル) ではしばしば、条件付き確率 $p(y | x)$ を考える事があります。また、統計モデルはいくつかの統計モデルを組み合わせて構成される事があります。これらは統計モデルを確率的写像 (sto...

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• 2022.12.01

前層の圏がトポスであることの証明

        $\mathcal{Set}$ を集合の圏とし、$\mathcal{C}$ を小圏 (全ての射の集まりが集合である) とします。このとき、前層 $\hat{\mathcal{C}} = \mathcal{Set}^{\...

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• 2022.11.24

米田埋め込みは連続関手である

        $\mathcal{Set}$ を集合の圏とし、$\mathcal{C}$ を局所小圏とします。$\hat{\mathcal{C}} = \mathcal{Set}^{\mathcal{C}^{op}}$, $h_c ...

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• 2022.11.18

リーマン幾何学の捩れテンソルの意味 : 最短性と真っ直ぐさ（接続の幾何：番外編１）

        捩れテンソル (捩率テンソル) について調べて、矢野健太郎先生の「接続の幾何学」という本を呼んでいたら、なぜ捩れテンソルが現れる理由が分かりにくいのかわかった気がしました。本記事ではそれを紹介しようと思います。 ...

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• 2022.11.14

【圏論】部分対象分類子の冪のevalが要素記号で表される理由

        $\mathcal{C}$ を圏とし、$\Omega$ を $\mathcal{C}$ の部分対象分類子 (subobject classifier) とます。$X \in Ob(C)$ に対し以下の冪 $$\O...

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