数学

• 2022.12.01

前層の圏がトポスであることの証明

        $\mathcal{Set}$ を集合の圏とし、$\mathcal{C}$ を小圏 (全ての射の集まりが集合である) とします。このとき、前層 $\hat{\mathcal{C}} = \mathcal{Set}^{\...

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• 2022.11.24

米田埋め込みは連続関手である

        $\mathcal{Set}$ を集合の圏とし、$\mathcal{C}$ を局所小圏とします。$\hat{\mathcal{C}} = \mathcal{Set}^{\mathcal{C}^{op}}$, $h_c ...

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• 2022.11.18

リーマン幾何学の捩れテンソルの意味 : 最短性と真っ直ぐさ（接続の幾何：番外編１）

        捩れテンソルについて調べて、矢野健太郎先生の「接続の幾何学」という本を呼んでいたら、なぜ捩れテンソルが現れる理由が分かりにくいのかわかった気がしました。本記事ではそれを紹介しようと思います。 現代的なリーマン幾何...

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• 2022.11.14

【圏論】部分対象分類子の冪のevalが要素記号で表される理由

        $\mathcal{C}$ を圏とし、$\Omega$ を $\mathcal{C}$ の部分対象分類子 (subobject classifier) とます。$X \in Ob(C)$ に対し以下の冪 $$\O...

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• 2022.11.04

接続の捩れと接枠バンドル（接続の幾何３）

        本記事は接続の捩れを理解することを目的としたシリーズ記事、接続の幾何シリーズの3回目の記事です。前回は一般の主束の接続とその曲率について述べました。 「ファイバー束の接続（接続の幾何１）」 「主束の接続と...

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• 2022.09.05

【ルベーグ積分】測度論が難しいのは全体像を俯瞰しにくいからではないか？

        測度論に苦手意識を持つ人は多いようです。私もその一人で、学生の頃に結構勉強したつもりでしたが、この記事を書くときには全て忘れていました。振り返ってみると、測度論はルベーグの収束定理やフビニの定理のようなインパクトのある...

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• 2022.03.12

主束の接続と曲率 : 最短解説（接続の幾何２）

        本記事は接続の捩れを理解することを目的としたシリーズ記事、接続の幾何シリーズの２回目の記事です。前回は一般のファイバー束上の接続を定義し、それがベクトル束の共変微分の接続の一般化であることを確認しました。 「フ...

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• 2022.01.26

ジェットとジェット束のまとめ

        ジェット (jet) について、日本語の詳しい情報が見当たらなかったので、まとめようと思います。個人的な勉強ノートくらいの気持ちで書いています。(いくつか間違いがある可能性があります。見つけたら修正していきます。) ...

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• 2022.01.04

ファイバー束の接続（接続の幾何１）

        接続という概念に最初に出会うのはリーマン幾何学のLevi-Civita接続だと思います。Levi-Civita接続は計量を保つ捩れのない接続と定義されますが、接続の「捩れ」は幾何学的な理解がかなり難しい概念のように思い...

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• 2021.12.09

逆関数定理、陰関数定理の証明【一点から局所的な情報を導く】

        多様体論で基礎となる3つの定理、逆関数定理、陰関数定理の証明を紹介します。これらは、写像の一点の情報からその点の局所的な性質を導くことのできる強力な定理です。逆関数定理と陰関数定理はどちらかを示せばもう一方が示されると...

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