$\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$ は、 $n \neq m$のとき同相ではありません。これを証明します。
$n < m$ とします。$n = 0$ のときは明らかなので、$n \geq 1$ とします。
$\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$ が同相であると仮定し、同相写像を
$$\phi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$
とします。適当な $x \in \mathbb{R}^n$ をとったとき、その点を除いた写像
$$\phi: \mathbb{R}^n \setminus \{x\} \rightarrow \mathbb{R}^m \setminus \{\phi(x)\}$$
も同相写像です。このとき、
\begin{align} \mathbb{R}^n \setminus \{x\} & \simeq S^{n-1} \times \mathbb{R} \overset{h.e}{\sim} S^{n-1} \\ \mathbb{R}^m \setminus \{\phi(x)\} & \simeq S^{m-1} \times \mathbb{R} \overset{h.e}{\sim} S^{m-1} \end{align}
となります。ここで、$\overset{h.e}{\sim}$ はホモトピー同値を意味します。よって $\phi$ はホモロジーの同型
$$H_k(S^{n-1}) \simeq H_k(S^{m-1}) \ (k \in \mathbb{N})$$
を誘導します。しかし、$H_{m-1}(S^{n-1}) = 0$, $H_{m-1}(S^{m-1}) = \mathbb{Z}$ なので矛盾します。
従って $n \neq m$のとき、$\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$ は同相ではありません。
