ガットですりおろされたい大根のブログ

• 2023.11.09

• 代数, 数学

ユークリッド整域 ⇒ 単項イデアル整域 ⇒ 一意分解整域 ⇒ 正規環の証明

        よく知られている ユークリッド整域 $\Rightarrow$ 単項イデアル整域 (PID) $\Rightarrow$ 一意分解整域 (UFD) $\Rightarrow$ 正規環 という関係を証明しま...

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• 2023.10.25

• 円周率

円周率のマーダヴァによる計算法についての補足【動画補足】

        1400年頃に活躍したインドの数理天文学者、マーダヴァによる円周率の求め方を解説した動画を公開しました。 https://youtu.be/O5XECJniaNE マーダヴァは以下の公式を発見し、円周率...

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• 2023.10.04

• 圏論, 代数, 数学

入射加群による加群の分解の構成

        加群の入射分解は、加群の層のコホモロジーの理論において重要な役割を果たします。しかし重要なのは入射分解の存在のみであり、また、層の大域切断のコホモロジーに限れば脆弱層分解という別の分解で代用することができるので、名前だ...

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• 2023.06.29

• 解析, 統計・機械学習

KL ダイバージェンス最小化の意味を理解するための記事まとめ

        KL ダイバージェンス最小化の意味を説明することをテーマに、幾つか記事を書いてきました。これらの記事を書いた動機は、KL ダイバージェンスの最小化 (最尤推定) は統計的推論の最も基本的な手法であるにもかかわらず、手に...

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• 2023.06.28

• 解析, 統計・機械学習

KL ダイバージェンス最小化（最尤推定）の確率論的な意味

        統計的推論では多くの場合、最尤推定という方法が用いられます。それにもかかわらず、最尤推定の確率的な意味について書かれた教科書は多くありません。実は最尤推定を考案したフィッシャー自身、尤度について「"合理的な信念の尺度"...

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• 2023.06.27

• 解析, 統計・機械学習

ネイマン・ピアソンの補題と仮説検定の漸近挙動

        $S$ を集合とし、$S$ 上の $n$ 個のデータ $\{x_1, \dots, x_n\}$ が与えられたとします。このデータを生成した分布の候補が $2$ つあるとし、それぞれ $P$, $Q$ とおくこととしま...

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• 2023.06.21

• 解析, 数学, 統計・機械学習

1次元のクラメールの定理の証明

        クラメールの定理は以下の記事 「統計的仮説検定とクラメールの定理」 で証明していますが、この記事ではキュムラント母関数が任意の点で有限であることを仮定していました。本記事では、キュムラント母関数の値が $\...

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• 2023.06.21

• 解析, 数学, 統計・機械学習

KL ダイバージェンスは τ-位相に関して good rate function である

        可分完備距離空間 (ポーランド空間) $S$ 上の確率測度全体 $\mathcal{P}(S)$ の、弱位相に関する sanov の定理を以下の記事で示しました。 「sanov の定理の証明」 しかし弱位相...

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• 2023.06.21

• 解析, 数学, 統計・機械学習

sanov の定理の拡張とクラメールの定理

        以下の記事で sanov の定理を示しました。 「sanov の定理の証明」 しかし、sanov の定理が弱位相における開集合、閉集合にしか適用できないと、応用が制限されて不便です。本記事では、もっと一般の...

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• 2023.06.01

• 解析, 数学小ネタ

開区間上の凸関数は連続である

        開区間 $U \subset \mathbb{R}$ 上の凸関数 $f: U \to \mathbb{R}$ が連続であることを示します。ここで、凸関数であるとは、任意の $x, y \in U$ と任意の $0 \l...

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