2023.06.21 解析, 数学, 統計・機械学習 1次元のクラメールの定理の証明 クラメールの定理は以下の記事 「統計的仮説検定とクラメールの定理」 で証明していますが、この記事ではキュムラント母関数が任意の点で有限であることを仮定していました。本記事では、キュムラント母関数の値が $\... 続きを読む
2023.06.21 解析, 数学, 統計・機械学習 KL ダイバージェンスは τ-位相に関して good rate function である 可分完備距離空間 (ポーランド空間) $S$ 上の確率測度全体 $\mathcal{P}(S)$ の、弱位相に関する sanov の定理を以下の記事で示しました。 「sanov の定理の証明」 しかし弱位相... 続きを読む
2023.06.01 解析, 数学小ネタ 開区間上の凸関数は連続である 開区間 $U \subset \mathbb{R}$ 上の凸関数 $f: U \to \mathbb{R}$ が連続であることを示します。ここで、凸関数であるとは、任意の $x, y \in U$ と任意の $0 \l... 続きを読む
2023.04.15 代数, 圏論, 数学 半環上の加群の圏は proto-exact category である トロピカル幾何学に応用できる可能性がありそうな半環の理論を見つけたので紹介します。 PROTO-EXACT CATEGORIES OF MODULES OVER SEMIRINGS AND HYPERRINGS ... 続きを読む
2023.04.03 代数, 数学 半環と半加群の同型定理について 半環とその上の半加群についての基本的な事項をまとめ、加群の同型定理と同様の命題が半加群においても成り立つのか考察します。 半環について 半環の定義 $R$ を空でない集合とします。$R$ が以下の条件... 続きを読む
2023.03.24 解析, 数学, 統計・機械学習 sanov の定理の証明 sanov の定理は大偏差原理の一種であり、統計的推論におけるKLダイバージェンスの最小化 (= 尤度の最大化) の意味を理解するのに必須の定理です。本記事では sanov の定理を証明します。概ね [TC] に沿って... 続きを読む
2023.03.23 解析, 数学, 統計・機械学習 大偏差原理の基礎 (sanovの定理の証明の準備として) 本記事では sanov の定理の証明を行う準備として、大偏差原理の基礎をまとめます。本記事は [TC] の内容を大いに参考にしており、概ね [TC] に沿って述べていますが、一部補完、省略、順番の変更等しています。 ... 続きを読む
2023.03.23 解析, 数学, 統計・機械学習 ポーランド空間上の有限 Borel 測度全体の位相的性質 ポーランド空間 (可分完備距離空間) $S$ 上の符号付有限 Borel 測度全体 $\mathcal{M}_{\mathbb{R}}(S)$ には全変動ノルム $||\cdot||_{var}$ による位相と弱位相の... 続きを読む
2023.03.11 解析, 数学, 統計・機械学習 Prokhorov 距離と可分性、完備性、コンパクト性の遺伝 距離空間 $(S, d)$ 上の Borel 確率測度全体の集合 $\mathcal{P}(S)$ には距離を定義することができ、元の距離空間のいくつかの特徴を引き継ぐことが知られています。例えば、可分性や完備性、コン... 続きを読む
2023.02.24 数学小ネタ, 統計・機械学習 ChatGPTに数学の命題を証明させてみたら1行で矛盾した いまさらながら ChatGPT に数学の問題を解かせてみたら、回答が面白かったので記事にしようと思います。解かせた問題は以下になります。 「ハウスドルフ空間のコンパクト集合が閉集合であることを証明してください。」... 続きを読む