※ この記事は以下の動画の補足記事です。動画で触れられなかった内容、説明を飛ばした内容などを記載しています。
$1$ から $n$ までの自然数を適当に並べて、前から順に $a_1, a_2, a_3, \cdots$ とおくこととします。例えば
$$3 \ 4 \ 1 \ 5 \ 2$$
と並べたとき $a_1 = 3$, $a_2 = 4$, $a_3 = 1$ $\cdots$ となります。もし $a_1, a_2, \cdots, a_n$ が
$$a_1 < a_2 > a_3 < a_4 > \cdots $$
を満たすとき、その並べ方を交代順列またはジグザグ順列といいます。交代順列という呼び方の方が一般的ですが、この記事ではジグザグ順列と呼びます。また、文献によっては大小関係を逆にして $a_1 > a_2 < a_3 \cdots$ と定義していることもありますが、この記事ではこの並べ方を逆ジグザグ順序と呼びます。
$1$ から $n$ までの自然数のジグザグ順列の数をジグザグ数と呼ぶこととし、$e_n$ で表すこととします。$e_n$ は
$$\lim_{n\to\infty} \frac{n e_{n-1}}{e_{n}} = \frac{\pi}{2}$$
という式を満たすことが知られています。この記事ではこの等式を証明し、円周率が計算できるか検証します。
プログラムによる計算結果は以下から確認できます。
サンプルプログラム (自然数をジグザグに並べて円周率を求める)
目次
ジグザグ数の計算
ジグザグ順列と逆ジグザグ順列
ジグザグ順列と逆ジグザグ順列には 1 対 1 の関係があります。実際、$1$ から $n$ までの自然数のジグザグ順列
$$a_1 < a_2 > a_3 < a_4 > \cdots $$
に対して
$$n + 1 -a_1 > n+1 -a_2 < n+1 -a_3 > n+1 -a_4 < \cdots$$
は逆ジグザグ順列となります。
逆に、逆ジグザグ順列
$$b_1 > b_2 < b_3 > b_4 < \cdots$$
に対して
$$n + 1 -b_1 < n+1 -b_2 > n+1 -b_3 < n+1 -b_4 > \cdots$$
はジグザグ順列になります。この対応はジグザグ順列全体の集合と逆ジグザグ順列全体の集合の間の全単射を与えるので、ジグザグ順列の数と逆ジグザグ順列の数は等しくなります。
ジグザグ数の漸化式
$n$ 以下の自然数に対して $e_n$ がわかっているとして、$e_{n+1}$ を求めます。上述のように、ジグザグ順列と逆ジグザグ順列を合わせた数が分かれば、その半分がジグザグ数になるので、まずはそれぞれを合わせた数を数えます。
$n \geq 1$ とし、$n+1$ 個の自然数の順列を考えます。$k \geq 0$ とし、$1$ が $k+1$ 番目にある、つまり $a_{k+1} = 1$ を満たす順列を考えると、$1$ より左に $k$ 個、$1$ より右に $n-k$ 個の自然数が並びます。その分かれ方は $n$ 個の中から $k$ 個を選ぶ選び方の数 $\binom{n}{k}$ 通り存在します。
そして、$a_{k+1}\ (= 1)$ を基準として左方向にジグザグ順列になるように並べる並べ方は $e_k$ 通り、右方向にジグザグ順列になるように並べる並べ方は $e_{n-k}$ 通りあります。このように並べたものはジグザグ順列または逆ジグザグ順列になり、並べ方の数は
$$\binom{n}{k} e_{k} e_{n-k}$$
あります。
任意のジグザグ順列および逆ジグザグ順列はこのような方法で得られるので、$k$ を $0$ から $n$ まで動かすと
$$2 e_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} e_{k} e_{n-k} \quad (n \geq 1)$$
が成り立ちます。ただし $e_0 = 1$, $e_1 = 1$ とします。
ただし注意として、上の漸化式は $n = 1$ の場合には成り立ちません。並べる数が $2$ 個以上のとき、ジグザグ順列かつ逆ジグザグ順列である並べ方は存在しないので、左辺で $e_{n+1}$ の $2$ 倍をとっていますが、並べる数が $1$ 個のときはジグザグ順列かつ逆ジグザグ順列になってしまうので、$2$ 倍してしまうと過剰になるからです。
漸化式を実際に計算すると、以下のような値になります。
\begin{align} &e_1= 1, \quad e_2= 1, \quad e_3= 2, \\ &e_4= 5, \quad e_5= 16, \quad e_6= 61, \\ &e_7= 272, \quad e_8= 1385, \quad e_9= 7936 \end{align}
ジグザグ数の指数型母関数
ジグザグ数 $\{e_n\}_{n=0}^{\infty}$ に対してべき級数
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_n}{n!} x^n$$
を考えます。$f(x)$ を $\{e_n\}_{n=0}^{\infty}$ の指数型母関数と言います。$f(x)$ から $e_n$ の性質を導きます。
母関数が収束すること
$1$ から $n$ までの自然数の全ての並べ方のパータン数が $n!$ なので、$e_n \leq n!$ であり
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left|\frac{e_n}{n!} x^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \left|x^n \right|$$
となりますが、$|x|< 1$ で
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left|x^n \right| = \frac{1}{1 -|x|}$$
となるので $f(x)$ は少なくとも $|x|< 1$ の場合に収束します。
母関数が満たす微分方程式
$f(x)^2$ を計算すると
\begin{align} f(x)^2 &= \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_n}{n!} x^n \right)^2 \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{e_k}{k!}\frac{e_{n-k}}{(n-k)!} x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e_ke_{n-k}x^n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 e_{n+1}}{n!} x^n + 1 \\ &= 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_{n+1}}{n!} x^n -1 \end{align}
であり、また
\begin{align}f^{\prime}(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_{n}}{n!} (x^n)^{\prime} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e_{n}}{(n-1)!} x^{n-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_{n+1}}{n!} x^{n}\end{align}
となるので、$f(x)$ は
$$2 f^{\prime}(x) = f(x)^2 + 1$$
という微分方程式を満たします。
微分方程式を解く
わかりやすくするため $y = f(x)$ とおくと、上の微分方程式は
$$2 \frac{dy}{dx} = y^2 + 1$$
となります。両辺 $y^2+1$ で割って
$$\frac{1}{y^2+1} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$$
として、両辺を積分すると
\begin{gather} \int \frac{1}{y^2+1}\frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{2} dx + C\\ \int \frac{1}{y^2+1} dy = \frac{1}{2} x+C \\ \arctan (y) = \frac{1}{2} x+C \\ y = \tan \left( \frac{1}{2} x+C \right) \end{gather}
となります。ここで、$x = 0$ のとき $y = 1$ なので、$\tan x$ は周期 $\pi$ の周期関数であることから
$$1 = \tan C, \quad C = \frac{\pi}{4} + m\pi \quad (m \in \mathbb{Z})$$
となります。したがって
$$y = \tan \left( \frac{1}{2} x+\frac{\pi}{4} \right)$$
となります ($m$ がどんな整数でも上の等式を満たすので、$m=0$ とします)。これで、ジグザグ数から何故か三角関数が得られました。
もう少し整理すると、$\tan$ の加法定理
$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan\beta}{1 -\tan \alpha \tan \beta}$$
から
\begin{align} y &= \frac{\tan \frac{x}{2} + 1}{1 -\tan \frac{x}{2}} \\ &= \frac{\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2}} \\ &= \frac{\left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2}{\cos^2 \frac{x}{2} -\sin^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{1 +\sin x}{\cos x} \\ &= \tan x +\frac{1}{\cos x} \end{align}
となります。
収束半径 (再)
以下の記事
でも考察しているように、$\cos x$ は正則関数であり、かつ (複素数の範囲で) $|x| < \frac{\pi}{2}$ で $0$ にならず、$x = \frac{\pi}{2}$ で $0$ になるので、$\frac{1}{\cos x}$ は原点を中心にべき級数展開可能で、その収束半径は $\frac{\pi}{2}$ になります。
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であり、$\sin x$ は複素数全体で正則なので $\tan x$ の原点を中心としたべき級数展開の収束半径は $\frac{\pi}{2}$ になります。
よって
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_n}{n!} x^n = \tan x +\frac{1}{\cos x}$$
の収束半径は $\frac{\pi}{2}$ であることがわかります。従って収束半径の判定法から
\begin{gather} \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{|e_{n-1}|}{(n-1)!}}{\frac{|e_{n}|}{n!}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n e_{n-1}}{e_n} =\frac{\pi}{2} \quad (極限が存在すれば) \end{gather}
$$\liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{|e_n|}} = \frac{\pi}{2}$$
であることがわかります。
ここで、数列 $\{S_n\}$, $\{T_n\}$ を
\begin{align} \frac{1}{\cos x} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{S_n}{n!} x^n \\ \tan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{T_n}{n!} x^n \\ \end{align}
で定義すると、$e_n = S_n + T_n$ となります。$\{S_n\}$ をセカント数、$\{T_n\}$ をタンジェント数といいます。
特に、$\cos x$ が偶関数であることから $S_{2n+1} = 0$, $\tan x$ が奇関数であることから $T_{2n} = 0$ となり
$$e_n = \begin{cases} \ S_n & (n : 偶数) \\ \ T_n & (n : 奇数)\end{cases}$$
となります。
ジグザグ数と円周率
以上から、$e_n$ と円周率の関係が母関数の収束半径という形で関係することがわかりました。しかし、円周率を計算するには $\lim_{n\to\infty} \frac{n e_{n-1}}{e_{n}}$ が存在するのか、$e_n$ と円周率の大小関係はどうなっているのか、という問題を考える必要があります。
そのために、タンジェント数、セカント数の性質を述べます。セカント数については別の記事で述べているので、簡単にまとめるのみにします。
また、タンジェント数についてもこの記事の内容を適宜引用します。
タンジェント数
$\tan z$ を指数関数で表すと
\begin{align} \tan z &= \frac{\displaystyle \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}}{\displaystyle \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}} \\ &= \frac{1}{i} \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{e^{iz} + e^{-iz}} \\ &= -i \frac{e^{2iz} -1}{e^{2iz} + 1} \\ &= -i \left(1 -\frac{2}{e^{2iz} + 1} \right) \\ &= -i +\frac{2i}{e^{2iz} + 1} \\ \end{align}
となります。よって、
$$\frac{1}{e^z + 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{D_n}{n!} z^n$$
とおくと、$n \geq 1$ で
\begin{align}T_{2n-1} &= 2i (2i)^{2n-1} D_{2n-1} \\ &= (-1)^n 2^{2n} D_{2n-1}\end{align}
が成り立ちます。ここで
\begin{align}\lambda(s) & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^s} \\ &= 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots\end{align}
とおくと、
$$\frac{D_{2n-1}}{(2n-1)!} = \frac{(-1)^n 2}{\pi^{2n}} \lambda(2n)$$
と表されます (前回の記事より)。よって
$$\frac{T_{2n-1}}{(2n-1)!} = \frac{2^{2n+1}}{\pi^{2n}} \lambda(2n)$$
となります。$\lambda(s)$ は $\lambda(s) > \lambda(s+1) > 1$ かつ $ \lambda(s) \to 1$ $(s \to \infty)$ を満たします。
セカント数とディリクレ $\beta$ 関数
別の記事で、セカント数とディリクレベータ関数の特殊値について解説しました。ディリクレベータ関数とは
$$\beta(s) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^s}$$
で定義される関数で、少なくとも $s \geq 1$ で $\beta(s) < \beta(s+1) < 1$, $\lim_{s\to\infty} \beta(s) = 1$ を満たします。また、整数 $n \geq 0$ に対して
$$\beta(2n+1) = \frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}}\frac{S_{2n}}{(2n)!}$$
が成り立ちます。$\frac{S_{2n}}{(2n)!}$ について整理すると
$$\frac{S_{2n}}{(2n)!} = \frac{2^{2n+2}}{\pi^{2n+1}} \beta(2n+1)$$
となります。
収束半径の計算
ダランベールの判定法
これまでの計算から
\begin{align} \frac{\frac{e_{2n}}{(2n)!}}{\frac{e_{2n+1}}{(2n+1)!}} &= \frac{ \frac{S_{2n}}{(2n)!} }{ \frac{T_{2n+1} }{(2n+1)!} } \\ &= \frac{\frac{2^{2n+2}}{\pi^{2n+1}} \beta(2n+1)}{\frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \lambda(2n+2)} \\ &= \frac{\pi}{2} \frac{\beta(2n+1)}{\lambda(2n+2)} \\ & < \frac{\pi}{2} \end{align}
であり、$\frac{\beta(2n+1)}{\lambda(2n+2)}$ は $n \to \infty$ で $1$ に収束します。また
\begin{align} \frac{\frac{e_{2n-1}}{(2n-1)!}}{\frac{e_{2n}}{(2n)!}} &= \frac{ \frac{T_{2n-1}}{(2n-1)!} }{ \frac{S_{2n-1} }{(2n-1)!} } \\ &= \frac{\frac{2^{2n+1}}{\pi^{2n}} \lambda(2n)}{\frac{2^{2n+2}}{\pi^{2n+1}} \beta(2n+1)} \\ &= \frac{\pi}{2} \frac{\lambda(2n)}{\beta(2n+1)} \\ & > \frac{\pi}{2} \end{align}
であり、$\frac{\lambda(2n)}{\beta(2n+1)}$ は $n \to \infty$ で $1$ に収束します。したがって
$$\frac{\frac{e_{2n}}{(2n)!}}{\frac{e_{2n+1}}{(2n+1)!}} = \frac{(2n+1)e_{2n}}{e_{2n+1}} < \frac{\pi}{2} < \frac{2ne_{2n-1}}{e_{2n}}= \frac{\frac{e_{2n-1}}{(2n-1)!}}{\frac{e_{2n}}{(2n)!}}$$
であり、両端の値は $n \to \infty$ で $\frac{\pi}{2}$ に収束します。
コーシー・アダマールの判定法
$\sqrt[n]{\frac{n!}{e_n}}$ を計算すると $n$ が偶数のとき
\begin{align} \sqrt[2n]{ \frac{(2n)!}{e_{2n}} } &= \sqrt[2n]{\frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2} \beta(2n+1)}} \\ &= \frac{\pi}{2} \sqrt[2n]{\frac{\pi}{4 \beta(2n+1)}} \\ & < \frac{\pi}{2} \end{align}
であり、奇数のとき
\begin{align} \sqrt[2n-1]{ \frac{(2n-1)!}{e_{2n-1}} } &= \sqrt[2n-1]{ \frac{\pi^{2n}} {2^{2n+1} \lambda(2n)} } \\ &= \frac{\pi}{2} \sqrt[2n-1]{ \frac{\pi}{4 \lambda(s)} } \\ & < \frac{\pi}{2} \end{align}
となります。ただし、$\frac{\pi}{4} < 1$, $\lambda(s) > 1$ であることを用いました。よって
$$ \sqrt[2n]{ \frac{(2n)!}{e_{2n}} }, \ \sqrt[2n-1]{ \frac{(2n-1)!}{e_{2n-1}} } < \frac{\pi}{2}$$
であり、円周率は片側からしか評価できません。
タンジェント数とベルヌーイ数 (おまけ)
$D_{2n} = 0$ $(n \geq 1)$ であり
$$D_{2n-1} = -\frac{2^{2n} -1}{2n} B_{2n}$$
が成り立ちます (前回の記事より)。ここで、$B_n$ は
$$\frac{z}{e^z -1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} z^n$$
で定義される数で、ベルヌーイ数と呼ばれます。よって $n \geq 1$ で
\begin{align} T_{2n-1} &= 2i (2i)^{2n-1} D_{2n-1} \\ &= (-1)^n 2^{2n} D_{2n-1} \\ &= (-1)^{n+1} \frac{4^{2n} -2^{2n}}{2n} B_{2n} \end{align}
が成り立ちます。
ちなみにこの求め方は一般的ではなく、普通は
$$\tan z = \frac{1}{\tan z} -\frac{2}{\tan 2z}$$
が成り立つことと、
\begin{align} \frac{1}{\tan z} &= i\frac{e^{iz} +e^{-iz}}{e^{iz} -e^{-iz}} \\ &= i\frac{e^{2iz} +1}{e^{2iz} -1} \\ &= i +\frac{2i}{e^{2iz} -1}\\ \end{align}
をローラン展開して係数を比較することで求めます。
参考文献
[scd1] Scientific Doggie 数理の楽しみ. 第3章 タンジェント数とオイラー数
[scd2] Scientific Doggie 数理の楽しみ. 第4章 ゼータ関数