クリフォード代数の性質、ノルム、内積など(Spin群の構成1)

この記事は、クリフォード代数を用いた Spin 群 $Spin(n)$ の構成について解説する連続記事の第一回目の記事です。

  1. クリフォード代数の性質、ノルム、内積など ← この記事
  2. $SO(n)$ のアナロジーとしてのSpin群の構成
  3. $Spin(n)$ が $SO(n)$ の二重被覆であることの証明
  4. [予定] クリフォード代数を用いるメリット、デメリット

$Spin(n)$ は特殊直行群 $SO(n)$ の2重被覆群です。$Spin(n)$ は多くの場合クリフォード代数 $C\ell_n$ を用いて構成されますが、クリフォード代数が唐突に現れ、それが現れる数学的背景が説明されないことに不満がありました。そのためクリフォード代数を用いない $Spin(n)$ の構成を目標とする記事を書こうとしましたが、それは上手くいきませんでした。

そこで方針を変えて、本来の方法を少し工夫して、行列群の部分群としての $SO(n)$ のアナロジーとして、$C\ell_n$ の部分群として $Spin(n)$ を構成する、という流れにしました。$SO(n)$ は行列群の中で

  1. 可逆である
  2. ノルムを保つ
  3. 向きを保つ

ものの集まりですが、$Spin(n)$ を $C\ell_n$ の中で、上記の条件を満たすものとして説明しよう、ということです。実際にはこの条件を微妙に変更する必要があります。

$Spin(n)$ は $SO(n)$ の2重被覆である、ということを主眼におくと、$Spin(n)$ を構成するためにクリフォード代数を用いる、という認識になりクリフォード代数の説明が簡素になりがちですが、今回はその逆で、クリフォード代数に親しみが持てるように、説明されることの少ないノルムや内積などの説明をして、その部分群として $Spin(n)$ を構成します。個人的には、クリフォード代数のノルムは $Spin(n)$ の構成の理解に役立つと感じているので、詳しめに解説します。$SO(n)$ の二重被覆になることは副産物のようなものだと考えます。

クリフォード代数の定義

$\mathbb{R}^n$ の標準基底 $e_1, \cdots ,e_n$ に対し、積を

$$e_i e_i = -1, \quad e_i e_j = -e_j e_i \ (i \neq j)$$

と定め、$1$ と $e_{i_1} e_{i_2} \cdots e_{i_k}$ $(1 \leq i_1, \cdots, i_k \leq n)$ で生成される $\mathbb{R}$ 上の多元環 (積が定義されたベクトル空間) を $C\ell_n$ と表し、($\mathbb{R}$ 上の $\mathbb{R^n}$ に付随する) クリフォード代数といいます。外積代数と似ていますが、左側の式の部分のみが異なります。$C\ell_n$ の積は、$\langle v, w \rangle$ を $v, w \in \mathbb{R}^n$ の普通の内積として

$$v w + wv = -2\langle v, w \rangle$$

と表すこともできます。

もう少し厳密に定義すると、

$$T^k(\mathbb{R}^n) = ({\mathbb{R}^n})^{\otimes k} = \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^n \otimes \cdots \otimes \mathbb{R}^n$$

として、テンソル代数

$$T(\mathbb{R}^n) = \bigoplus_{k = 0}^{\infty} T^k(\mathbb{R}^n)$$

$$e_i \otimes e_i + 1, \quad e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i \ (i \neq j)$$

で生成されるイデアル $J_n$ で割った $T(\mathbb{R}^n)/J_n$ をクリフォード代数といいます。

クリフォード代数の基底

$C\ell_n$ の基底は

$$e_{i_1} e_{i_2} \cdots e_{i_k}, \quad i_1 < \cdots < i_k$$

で与えられることが以下のようにわかります。まず $C\ell_n$ を張ることは、$e_i e_j = -e_j e_i$ によって $e_i$ を左から小さい順に並べ、$e_i e_i = -1$ によって $i_l = i_{l+1}$ となる部分を消すことでわかります。

一次独立であることもほぼ明らかですが、ちゃんと示そうとすると意外と面倒です。$n = 1$ のときは明らかです。$n -1$ までは正しいとします。テンソル代数 $T(\mathbb{R}^n)$ の二つの部分空間を

\begin{align} T^e &= \{v \in T(\mathbb{R}^n) \mid v \textrm{ は } e_n \textrm { を偶数個含む成分の線形和 }\} \\ T^o &= \{v \in T(\mathbb{R}^n) \mid v \textrm{ は } e_n \textrm { を奇数個含む成分の線形和 }\} \end{align}

とします。例えば

\begin{align} & e_n + e_n \otimes e_n \otimes e_n \in T^o \\ & e_1 + e_2 \otimes e_n \otimes e_n \in T^e \\ \end{align}

です。明らかに $T(\mathbb{R}^n) = T^o \oplus T^e$ です。商をとる写像 $T(\mathbb{R}^n) \to C\ell_n$ による $T^e$ の像を $C\ell_n^e$, $T^o$ の像を $C\ell_n^o$ とおきます (この記号はこの節でのみ使用します)。このとき $C\ell_n^e, C\ell_n^o$ は $C\ell_n$ の線型部分空間で、$J_n$ が定める関係式は $e_n$ の数の偶奇を変えないので、$C\ell_n^e \cap C\ell_n^o = \{0\}$ です。つまり

$$C\ell_n = C\ell_n^e \oplus C\ell_n^o$$

となります。$e_n$ を右からかける線型写像 $\cdot \ e_n: C\ell_n \to C\ell_n$ は、

$$C\ell_n^e \overset{\cdot \ e_n}{\rightleftarrows} C\ell_n^o$$

を誘導し、逆写像 $\cdot \ (-e_n)$ が存在するので同型です。

$(i) = (i_1, \cdots, i_k)$, $(i_1 < \cdots < i_k)$ とおいて $e_{(i)} = e_{i_1} \cdots e_{i_k}$ とおきます。$\sum a_{(i)} e_{(i)} = 0$ のとき $a_{(i)} = 0$ を示します。

$$\sum_{(i)} a_{(i)} e_{(i)} = \sum_{(i), i_k \neq n} a_{(i)} e_{(i)} + \sum_{(i), i_k = n} a_{(i)} e_{(i)}$$

と $e_n$ を含む成分 ($\in C\ell_n^o$) と含まない成分 ($\in C\ell_n^e$) に分けます。$C\ell_n = C\ell_n^e \oplus C\ell_n^o$ なので

$$\sum_{(i), i_k \neq n} a_{(i)} e_{(i)} = 0 \in C\ell_{n}^e$$

となりますが、明らかに $C\ell_{n}^e \simeq C\ell_{n-1}$ なので、帰納法の仮定から $a_{(i)} = 0$ となります。$C\ell_n^o$ の成分も、右から $e_n$ をかければ、同様に $a_{(i)} = 0$ がわかります。よって全ての係数が $0$ になり、$e_{(i)}$ が一次独立であることがわかります。

この基底を標準基底と呼ぶこととします。$C\ell_n$ の次元は

$$\dim_{\mathbb{R}} C\ell_n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n$$

となります。

次数付き分解

$\mathbb{Z}$ 次数付き分解

$\{e_{i_1}\cdots e_{i_k}\}_{i_1 < \cdots < i_k}$ で生成される $C\ell_n$ の線形部分空間を $C\ell_n^k$ と表します。例えば $x \in C\ell_n^1$ は $x = \sum_{i=1}^n a_i e_i$, $x \in C\ell_n^2$ は $x = \sum_{1\leq i < j \leq n}^n a_{ij} e_i e_j$ と表されます。線型空間として

$$C\ell_n = \bigoplus_{k = 0}^n C\ell_n^k$$

と分解されます。これを $\mathbb{Z}$ 次数付き分解と呼びます (あまり一般的ではないので、この記事以外では使わない方が良いです)。この分解は、和に関しては次数を保ちますが、積に関しては次数を保ちません。例えば $e_1 e_2 \in C\ell_n^2$, $e_2 \in C\ell_n^1$ ですが

$$(e_1 e_2) \cdot e_2 = -e_1 \in C\ell_n^1$$

となり、次数は $3$ にはなりません。

$\mathbb{Z}_2$ 次数付き分解

一方、以下のように次数を決めると、積に関して次数が保たれます。

\begin{align} C\ell_n^+ &= \bigoplus_{k : \textrm{ 偶数}}^n C\ell_n^k \\ C\ell_n^- &= \bigoplus_{k : \textrm{ 奇数}}^n C\ell_n^k \\ C\ell_n &= C\ell_n^+ \oplus C\ell_n^- \end{align}

と分解すると、

\begin{align} C\ell_n^+ C\ell_n^+ &\subset C\ell_n^+, \\ C\ell_n^+ C\ell_n^- &\subset C\ell_n^-, \\ C\ell_n^- C\ell_n^+ &\subset C\ell_n^-, \\ C\ell_n^- C\ell_n^- &\subset C\ell_n^+ \\ \end{align}

を満たします。これは $\{\pm 1\} \simeq \mathbb{Z}_2$ $(:=\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z})$ とみなすことで、積に関して次数が保たれることを意味します。この分解を $\mathbb{Z}_2$ 次数付き分解と言います。これが本当に次数を保つことは、$x = e_{i_1} \cdots e_{i_k}$ と $y = e_{j_1}\cdots e_{j_l}$ の積の $\mathbb{Z}$ 次数が、 $k + l$ から $x$ と $y$ に共通して含まれる $e_i$ の個数の 2 倍を引いたものであることからわかります。

対合による $\mathbb{Z}_2$ 次数付き分解

$\mathbb{Z}_2$ 次数付き分解は、以下のように考えることもできます。

$$\alpha: e_{i_1} \cdots e_{i_k} \mapsto (-1)^k e_{i_1} \cdots e_{i_k}$$

という対応を、$C\ell_n$ に線形に拡張した写像 (同じ記号で $\alpha: C\ell_n \to C\ell_n$ と表す) を考えます。これは $C\ell_n$ の元の具体的な表示に対して定められているので、代表元の取り方に依らずに定まることを確認する必要があります。まず

\begin{align} \alpha(e_{i_1} \cdots e_{i_k}) &= (-1)^k e_{i_1} \cdots e_{i_k} \\ &= (-e_{i_1}) \cdots (-e_{i_k}) \\ &= \alpha(e_{i_1}) \cdots \alpha(e_{i_k}) \\ \end{align}

であり、

\begin{align} \alpha(e_i) \alpha(e_i) &= e_i e_i = -1, \\ \alpha(e_i) \alpha(e_j) &= e_i e_j = -e_j e_i \\ &= -\alpha(e_j) \alpha(e_i) \quad (i \neq j)\\ \end{align}

とクリフォード代数の関係式を満たすことから、代表元の取り方に依らないことがわかります。$\alpha^2 = \mathrm{id}$ なので $\alpha$ の固有値は $\pm 1$ であり、$C\ell_n$ の標準基底が固有ベクトル、$+1$ の固有空間が $C\ell_n^+$, $-1$ の固有空間が $C\ell_n^-$ であることがわかります。$\alpha$ が準同型であることから、$C\ell_n^+ \oplus C\ell_n^-$ が $\mathbb{Z}_2$ 次数付き分解であることがわかります。$\alpha$ を対合というようです。

クリフォード代数の例

$x \in C\ell_1$ は $x = a + b e_1$ $(a, b \in \mathbb{R})$ と表されます。

\begin{align} (a + b e_1) + (c + de_1) &= a + c + (b +d)e_1 \\ (a + b e_1)(c + de_1) &= ac -bd +(ad +bc)e_1 \end{align}

を満たすので、複素数 $\mathbb{C}$ と同型です。

$C\ell_2$ は

$$e_1 = i,\ e_2 = j,\ e_1 e_2 = k$$

とおくと

\begin{align} & ij = e_1 e_2 = k, && ji = e_2 e_1 = -e_1 e_2 = -k \\ & jk = e_2 e_1 e_2 = e_1 = i, && k j = e_1 e_2 e_2 = -e_1 = -i \\ & k i = e_1 e_2 e_1 = e_2 = j, && ik = e_1 e_1 e_2 = -e_2 = -j \end{align}

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$

等の等式が成り立ちます。よって $C\ell_2$ は四元数 $\mathbb{H}$ と同型です。

共役、ノルム、内積

転置と共役

$x \in C\ell_n$ に対して、転置 ${}^t x$ を対応

\begin{align} {}^t(e_{i_1} \cdots e_{i_k}) = e_{i_k} \cdots e_{i_1} \end{align}

によって定めます (これを $\mathbb{R}$ 線形に拡張します)。この対応によりイデアル $J_n$ は不変なので表示によらないことは明らかです。一般に ${}^t(x y) = {}^ty {}^t x$ が成り立ちます。また、$e_{i_1}, \cdots, e_{i_k}$ が全て異なれば

$${}^t(e_{i_1} \cdots e_{i_k}) = (-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}e_{i_1} \cdots e_{i_k}$$

が成り立ちますが、そうでない場合は例えば

$$\tau(e_1 e_1) = e_1 e_1 = -1 \neq 1 = (-1)^{\frac{2 \cdot 1}{2}} e_1 e_1$$

のように成り立たない場合があります。$x \in C\ell_n$ の共役を

$$\bar{x} = \alpha ({}^t x)$$

により定義します。明らかに $\alpha ({}^t x) = {}^t \alpha (x)$ が成り立ちます。

例えば $x = a + b e_1 \in C_1$ に対して

$$\bar{x} = a -b e_1$$

となり、$\mathbb{C}$ の共役と一致します。$x \in C_2$ の元に対しては

\begin{align} \bar{x} &= a +b \alpha(e_1) +c \alpha(e_2) + d\alpha(e_2 e_1) \\ &= a -be_1 -ce_2 -d e_1 e_2 \end{align}

となり、$\mathbb{H}$ の共役と一致します。

ノルム

$x \in C\ell_n$ に対して、$\langle x \rangle$ を $x$ の $C\ell_n^0 \simeq \mathbb{R}$ 成分 ($\mathbb{Z}$-次数付き分解における次数 $0$ の成分) とおきます。そして、$x \in C\ell_n$ のノルムを

$$N(x) = \langle x \bar{x} \rangle$$

と定めます。あとで説明しますが、$N(x)$ は普通の意味でのノルムというよりは、その 2 乗に当たるものです。クリフォード代数は $\mathbb{R}$ 以外の体でも考えることがある (例えば [Bo]) ため、ルートを取らずに $N(x)$ をノルムと呼びます。体の拡大のノルム (全ての共役の積。非分離拡大の場合はその非分離次数乗。) に似ています。

なぜ $x \bar{x}$ でなく、$\langle x \bar{x} \rangle$ と括弧をつけるかというと、一般に $x \bar{x} \notin C\ell_n^0$ だからです。例えば

\begin{align} & (e_1 e_2 + e_3)\overline{(e_1 e_2 + e_3)} \\ = \ & (e_1 e_2 + e_3)(e_2 e_1 -e_3) \\ = \ & 2 + e_3 e_2 e_1 -e_1 e_2 e_3 \\ = \ & 2 -2 e_1 e_2 e_3 \notin C\ell_n^0 \end{align}

となります。

標準基底の 2 つの元

\begin{align} e_{(i)} &= e_{i_1} \cdots e_{i_k}, \\ e_{(i^{\prime})} &= e_{i^{\prime}_1} \cdots e_{i^{\prime}_{k^{\prime}}} \end{align}

に対して、$(i) = (i^{\prime})$ ならば

\begin{align} e_{(i)} \overline{e_{(i^{\prime})}} &= e_{i_1} \cdots e_{i_k} \alpha(e_{i_k} \cdots e_{i_1}) \\ &= (-1)^k e_{i_1} \cdots e_{i_k} e_{i_k} \cdots e_{i_1} \\ &= (-1)^k (-1)^k = 1\end{align}

であり、$(i) \neq (i^{\prime})$ ならば

$$e_{(i)} \overline{e_{(i^{\prime})}} \notin C\ell_n^0$$

なので、$x \in C\ell_n$ を

\begin{align} x = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} a_{i_1 \cdots i_k} e_{i_1} \cdots e_{i_k} \end{align}

とおくと

$$N(x) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} a_{i_1 \cdots i_k} ^2$$

となります。特に $x \in C\ell_n^1 \simeq \mathbb{R}^n$ のときは、$N(x) = ||x||_{\mathbb{R}^n}^2$ ($||x||_{\mathbb{R}^n}$ は $\mathbb{R}^n$ の普通の意味でのノルム) となります。さらに $x \in C\ell_1 \simeq \mathbb{C}$ に対しては $\mathbb{C}$ のノルム、$x \in C\ell_2 \simeq \mathbb{H}$ に対しては $\mathbb{H}$ のノルムと一致します。

内積

ついでに $C\ell_n$ の内積も定義しておきましょう。$x, y \in C\ell_n$ に対して

\begin{align} N(x+y) &= \langle (x +y) (\bar{x} +\bar{y}) \rangle \\ &= N(x) +N(y) + \langle x \bar{y}\rangle + \langle y\bar{x} \rangle, \\ N(x-y) &= N(x) +N(y) -\langle x \bar{y}\rangle -\langle y\bar{x}\rangle \end{align}

なので、

$$N(x+y) + N(x-y) = 2(N(x) + N(y))$$

つまり中線定理が成り立ちます。このとき内積は

$$\langle x, y\rangle = \frac{1}{4} (N(x+y) -N(x-y))$$

で与えられます。右辺を計算すると

\begin{align} & \frac{1}{4} (N(x+y) -N(x-y)) \\ = \ & \frac{1}{2}(\langle x \bar{y} \rangle + \langle y\bar{x} \rangle) \\ = \ &\frac{1}{2}(\langle x \bar{y} \rangle + \langle \overline{y\bar{x}} \rangle) \\ = \ &\langle x \bar{y} \rangle \end{align}

なので、

$$\langle x, y\rangle = \langle x \bar{y} \rangle$$

が成り立ちます。

$(i) \neq (i^{\prime})$ のとき $e_{(i)} e_{(i^{\prime})} \notin C\ell_n^0$ であることから、$\langle x y\rangle = \langle y x \rangle$ であることに注意すると、$z \in C\ell_n$ に対して

\begin{align} \langle z x, y\rangle &= \langle z x \bar{y} \rangle \\ &= \langle x \bar{y} z \rangle \\ &= \langle x, \bar{z}y \rangle, \\ \langle x z, y\rangle &= \langle x z \bar{y} \rangle \\ &= \langle x, y\bar{z} \rangle \\ \end{align}

が成り立ちます。よって共役は、この内積に関するクリフォード代数の積の随伴になります。

次の記事

SO(n)のアナロジーとしてのSpin群の構成

参考文献

[小林大島] 小林俊行, 大島利雄. リー群と表現論

[wiki] Wikipedia. クリフォード代数

[wiki2] Wikipedia. 中線定理

[Bo] Richard E. Borcherds. Clifford groups, Spin groups, and Pin groups


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