$\mathcal{Set}$ を集合の圏とし、$\mathcal{C}$ を局所小圏とします。$\hat{\mathcal{C}} = \mathcal{Set}^{\mathcal{C}^{op}}$, $h_c = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, c)$ とおきます。このとき、以下の対応
\begin{align} \mathcal{C} \ni c & \longmapsto h_c \in \hat{\mathcal{C}} \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(c, d) \ni f & \longmapsto f \circ – \in \mathrm{Hom}_{\hat{\mathcal{C}}}(h_c, h_d) \end{align}
は忠実充満な関手であることが知られており、米田埋め込みと呼ばれます。本記事ではこれが連続であること、つまり $J$ を任意の小さい圏 (全ての射の集まりが集合である圏) とし、$F: J \to C$ の極限 $\varprojlim F$ が存在するとき、
$$h_{\varprojlim F} = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, \varprojlim F) = \varprojlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, F(-)) = \varprojlim h_{F(-)}$$
が成り立つことを示します (極限を保つとも言います)。
ちなみに同様の内容は [L] の6章の前半および [M] の4章の3-4節に記載されていますが、表題のようには表現されていなかったので記事のネタにしました。
目次
方針
一般の関手圏においては、各項毎の極限が関手圏における極限を決定することが知られています。まずはそれを示し、その後 $d \in \mathcal{C}$ を固定したときに
$$h_{\varprojlim F}(d) = \varprojlim h_{F(-)} (d)$$
になることを示し、それを用いて米田埋め込みが連続であることを示します。
関手圏での極限は各項ごとに計算できる
$J, \mathcal{C}, \mathcal{X}$ を圏とます。$d \in C$ に対して $\mathrm{ev}_d: \mathcal{X}^{\mathcal{C}} \to \mathcal{X}$ を、
\begin{align} \mathcal{X}^{\mathcal{C}} \ni G & \longmapsto G(d) \in \mathcal{X} \\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{X}^{\mathcal{C}}}(G, H) \ni \theta & \longmapsto \theta_{d} \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{X}}(G(d), H(d)) \end{align}
で定義します。また、$F: J \to \mathcal{X}^{\mathcal{C}}$ は各項に対して極限を持つ、つまり合成 $\mathrm{ev}_d F: J \to \mathcal{X}$ が極限錐
$$\left( L_d \xrightarrow{(\tau_d)_i} \mathrm{ev}_d F(i) \right)_{i \in J}$$
を持つとします。このとき、
- 関手 $L: \mathcal{C} \to \mathcal{X}$ と自然変換の族 $\{\tau_i: L \to F(i)\}_{i \in J}$ で $L(d) = L_d$ かつ $\left(L \xrightarrow{\tau_i} F(i)
\right)$ が錐となるものが一意的に存在する。 - $L = \varprojlim F$ が成り立つ。
を示します。
関手 $L$ の構成
まずは関手 $L$ を構成しましょう。そのために、$\mathcal{C}$ の射 $f: d_1 \to d_2$ に対して$L_f: L_{d_1} \to L_{d_2}$ を構成します。$\mathrm{ev}_d F$ を $F_d$ とおきます。以下の図式
\[ \vcenter{ \xymatrix{ L_{d_1} \ar@[blue][dd]_{(\tau_{d_1})_i} \ar@[blue][rd]^{(\tau_{d_1})_j} \ar@{.>}[rr]^{L_f} & & L_{d_2} \ar@[blue][dd]_(.3){(\tau_{d_2})_i} \ar@[blue][rd]^{(\tau_{d_2})_j} & \\ & F_{d_1}(j) \ar@[green][rr]_(.35){F(j) (f)}|\hole & & F_{d_2}(j)\\ F_{d_1}(i) \ar@[green][ru]_{F_{d_1} (u)} \ar@[green][rr]_{F(i) (f)} & & F_{d_2}(i) \ar@[green][ru]_{F_{d_2} (u)} & } \tag{1} } \]
の緑の部分は可換です。わかりにくいので補足すると、まず、$J$ の射 $u: i \to j$ に対し、$F(u): F(i) \Rightarrow F(j)$ は自然変換です。自然変換の定義から以下の図式
\[ \xymatrix{ F_{d_1}(i) \ar@{}[r]|{=} & F(i)(d_1) \ar@[green][rr]^{F(u)_{d_1} \; (= F_{d_1}(u))} \ar@[green][dd]^{F(i)(f)} & & F(j)(d_1) \ar@[green][dd]^{F(j)(f)} & F_{d_2}(j) \ar@{}[l]|{=} \\ &&&& \\ F_{d_2}(i) \ar@{}[r]|{=} & F(i)(d_2) \ar@[green][rr]^{F(u)_{d_2} \; (= F_{d_2} u)} && F(j)(d_2) & F_{d_2}(j) \ar@{}[l]|{=} } \]
は可換ですが、$\mathrm{ev}_d$ の定義から $F_{d_1}(j) = F(j)(d_1)$, $F_{d_1} (u) = F(u)_{d_1}$ 等が成り立つため、$(1)$ の底の部分と一致します。この可換性から、
$$\left( L_{d_1} \xrightarrow{F(i)(f) \circ (\tau_{d_1})_i} F_{d_2}(i) \right)_{i \in J}$$
は $L_{d_1}$ から $F_{d_2}$ への錐になり、極限の普遍性から一意的な射 $L_f: L_{d_1} \to L_{d_2}$ が存在し、全ての $i \in J$ に対して
$$(\tau_{d_2})_i \circ L_f = F(i)(f) \circ (\tau_{d_1})_i \tag{2}$$
が成り立ちます。$L_{\mathrm{id}} = \mathrm{id}$ であること、$L_{g \circ f} = L_{g} \circ L_{f}$ が成り立つことはほぼ自明なので省略します。$L(f) = L_f$ とおくことで、$L$ が関手になります。
$L$ の一意性
式 $(2)$ から、$\tau_i = \{(\tau_{d})_i\}_{d \in \mathcal{C}}$ は $L$ から $F(i)$ への自然変換になります。
\[ \xymatrix{ L_{d_1} \ar[r]^{L_f} \ar@[blue][d]_{(\tau_{d_1})_i} & L_{d_2} \ar@[blue][d]^{(\tau_{d_2})_i} \\ F(i)(d_1) \ar@[green][r]_{F(i)(f)} & F(i)(d_2) } \]
また図式 $(1)$ の可換性から、$J$ の任意の射 $u: i \to j$ に対し、合成 $\tau_i \cdot F(u) := \{(\tau_{d})_i \circ F_d(u) \}_{d \in \mathcal{C}}$ は $\tau_j$ に一致します。よって $\left(L \xrightarrow{\tau_i} F(i) \right)_{i \in J}$ は錐となります。
他の錐 $\left(\bar{L} \xrightarrow{\bar{\tau}_i} F(i) \right)_{i \in J}$ で、$\bar{L}(d) = L_d$ を満たすものが存在したとすると、各 $d \in \mathcal{C}$ に対して $\left(L_d \xrightarrow{(\tau_{d})_i} F_d(i) \right)_{i \in J}$ と $\left(L_d \xrightarrow{(\bar{\tau}_{d})_i} F_d(i) \right)_{i \in J}$ は同じ極限錐なので、任意の $d \in \mathcal{C}$ と任意の $i \in J$ に対して $(\tau_{d})_i = (\bar{\tau}_d)_i$ となります。また、任意の $f: d_1 \to d_2$ と任意の $i \in J$ に対して (式 $(3)$ の $L_f$ を $g$ に置き換えた)
$$(\tau_{d_2})_i \circ g = F(i)(f) \circ (\tau_{d_1})_i$$
を満たす $g: L_{d_1} \to L_{d_2}$ は極限の普遍性から $L_f$ のみなので、$L(f) = \bar{L}(f)$ となり、$L$ が一意的であることがわかります。
$L$ が極限であること
最後に、$L$ が $\varprojlim F$ に一致することを確認しましょう。示すべきことは、任意の錐 $\sigma: M \to F$ に対し自然変換 $\eta: M \to L$ で、任意の $d \in \mathcal{C}$ と任意の $i \in J$ に対して $(\sigma_i)_d = (\tau_i)_d \circ \eta_d$ を満たすものが一意的に存在することです ($(\tau_i)_d = (\tau_d)_i$ です)。
各 $d \in \mathcal{D}$ に対しては、極限錐 $\left( L_d \xrightarrow{(\tau_d)_i} F_d(i) \right)_{i \in J}$ の普遍性から $\eta_d: M(d) \to L_d$ で任意の $i \in J$ に対して $(\sigma_i)_d = (\tau_i)_d \circ \eta_d$ を満たすものが一意的に存在します。$\{\eta_d\}_{d \in \mathcal{C}}$ が自然変換であるためには、$\mathcal{C}$ の任意の射 $f: d_1 \to d_2$ に対して
$$\eta_d \circ M(f) = L(f) \circ \eta_d$$
を満たすことが必要です。そのためには以下の図式
\[ \xymatrix{ & L(d_1) \ar[rr]^{L(f)} \ar[dd]^(0.7){(\tau_i)_{d_1}}|\hole & & L(d_2) \ar[dd]^(0.6){(\tau_i)_{d_2}} \\ M(d_1) \ar[ru]^{\eta_{d_1}} \ar[rr]^(0.7){M(f)} \ar[rd]_{(\sigma_i)_{d_1}} & & M(d_2) \ar[ru]^{\eta_{d_2}} \ar[rd]_{(\sigma_i)_{d_2}} & \\ & F(i)(d_1) \ar[rr]_{F(i)(f)} & & F(i)(d_2) } \]
の上部が可換であれば良いです。側面は $\tau: L \to F(i)$, $\sigma: M \to F(i)$ が自然変換であることと $\eta_d$ の取り方から可換なので、以下の２つの錐
\begin{align} \left(L_{d_1} \xrightarrow{(\tau_i)_{d_2} \circ \eta_{d_2} \circ M(f)} F(i)(d_2) \right)_{i \in J} \\ \left(L_{d_1} \xrightarrow{(\tau_i)_{d_2} \circ L(f) \circ \eta_{d_1} } F(i)(d_2) \right)_{i \in J} \end{align}
は一致します。普遍性から $M(d_1)$ から $L(d_2)$ への射が一意的に存在し、この射は $\eta_{d_2} \circ M(f)$ と $L(f) \circ \eta_{d_1}$ に一致します。よって $\eta_d \circ M(f) = L(f) \circ \eta_d$ が成り立ち、$\eta = \{\eta_d\}_{d \in \mathcal{C}}$ は自然変換です。$\eta$ が一意的であることは明らかです。
米田埋め込みが連続であること
各項での極限
$J$ を任意の小さい圏とし、$F: J \to C$ の極限 $\varprojlim F$ が存在するとします。つまり以下の図式に対し $\varprojlim F$ が極限の普遍性を満たすとします。
\[ \xymatrix{ & & \varprojlim F \ar[ld]_{\tau_i} \ar[d]^{\tau_j} \ar[rd]^{\tau_k} & & \\ & F(i) \ar@{.}[l] \ar[r]^{F(u)} & F(j) \ar[r]^{F(v)} & F(k) \ar@{.}[r] & } \]
$d \in \mathcal{C}$ を固定したとき、以下の図式は可換です。
\[ \xymatrix{ & & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,\varprojlim F) \ar[ld]_{\tau_i \circ -} \ar[d]^{\tau_j \circ -} \ar[rd]^{\tau_k \circ -} & & \\ & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,F(i)) \ar@{.}[l] \ar[r]^{F(u) \circ -} & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,F(j)) \ar[r]^{F(v) \circ -} & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,F(k)) \ar@{.}[r] & } \]
これは $\mathcal{Set}$ 内での図式なので、極限 $\varprojlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, F(-))$ が存在します。さらに、上の図式が普遍性を満たせば、
$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,\varprojlim F) = \varprojlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, F(-)) \tag{3}$$
が示されます。
$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,\varprojlim F)$ が普遍性を満たすことを示すために、$X \in \mathcal{Set}$ を頂点とする錐 $\left(X \xrightarrow{\nu_i} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, F(i)) \right)_{i \in J}$ に対して、
$$X \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,\varprojlim F)$$
が定まることを確認します。
\[ \xymatrix{ & & X \ar[ld]_{\nu_i} \ar[d]^{\nu_j} \ar[rd]^{\nu_k} & & \\ & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,F(i)) \ar@{.}[l] \ar[r]^{F(u) \circ -} & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,F(j)) \ar[r]^{F(v) \circ -} & \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d,F(k)) \ar@{.}[r] & } \]
任意の $x \in X$ と任意の $i \in J$ に対し $\nu_i x: d \to F_i$ が得られます。任意の $i, j \in J$ に対して
$$(F(u) \circ -) (\nu_i x) = F(u) \circ \nu_i x = \nu_j x$$
が成り立つので、$\left (d \xrightarrow{\nu_i x} F_i \right)_{i \in J}$ は錐となります。極限の普遍性から、$\mu_x: d \to \varprojlim F$ が得られます。この対応 $x \mapsto \mu_x$ が
$$\mu: X \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, \varprojlim F)$$
を定めます。他の $\bar{\mu}: X \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, \varprojlim F)$ で、錐 $\left(X \xrightarrow{\nu_i} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, F(i)) \right)_{i \in J}$ と可換なものが存在すれば、任意の $i$ に対して $\bar{\mu}_x \circ \tau_i = \nu_i x$ を満たします。よって $\bar{\mu}_x$ は錐 $\left (d \xrightarrow{\nu_i x} F_i \right)_{i \in J}$ から得られるものと一致し、$\mu_x$ と一致します。したがって $\mu$ は一意的であり、式 $(3)$ が成り立ちます。
連続であること
$F: J \to \mathcal{C}$ は極限が存在するとします。まずは、米田埋め込み $h_{-}: \mathcal{C} \to \hat{\mathcal{C}}$ との合成 $h_{-} \circ F: J \to \hat{\mathcal{C}}$ の極限を計算しましょう。任意の $d \in \mathcal{C}$ と任意の $i \in J$ に対して
$$\mathrm{ev}_d (h_{F(i)} ) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, F(i))$$
なので、各項 $d \in \mathcal{C}$ での極限は
\begin{align} \varprojlim \mathrm{ev}_d (h_{F(-)}) &= \varprojlim \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, F(-)) \\ &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(d, \varprojlim F) \\ &= h_{\varprojlim F}(d) \end{align}
で与えられます。
$\varprojlim h_{F(-)}$ の極限錐は
$$\left(\varprojlim (h_{F(-)})\xrightarrow{\tau_i \circ -} h_{F(i)} \right)_{i \in J}$$
で与えられます ( $\varprojlim (h_{F(-)})$ から $h_{F(i)}$ への自然変換が $\tau_i \circ -$ であることは各 $d \in \mathcal{C}$ 毎の計算からわかります)。錐 $\left( \varprojlim F \xrightarrow{\tau_i} F(i) \right)_{i \in J}$ を $h_{(-)}$ で移した
$$\left(h_{\varprojlim F} \xrightarrow{\tau_i \circ -} h_{F(i)} \right)_{i \in J}$$
も錐なので、
$$\varprojlim h_{F(-)} = h_{\varprojlim F}$$
が成り立ちます。これで示したいことが示されました。
余極限は保存されるか?
米田埋め込みは極限を保つこと示しましたが、余極限は保たない事が知られています。具体的な例は [L] に書いてあります (始対象が保たれない)。
参考文献
[L] Tom Leinster. ベーシック圏論
[M] S. マックレーン. 圏論の基礎