グロタンディーク宇宙とは集合論の操作で閉じた集合のことである

グロタンディーク宇宙は一見難しそうな概念に見えますが、集合論の公理をある程度理解できれば定義の意図を理解するのはそれほど難しくない、ということをこの記事で解説します。

どちらかというと集合論の公理が難しく、それきちんと説明するのは大変なので、数学をする分には困らない程度のゆるさで話をします。

はじめに

この記事ではまず集合論の公理を簡単に復習し、その後集合論の公理とグロタンディーク宇宙の定義を比較して、グロタンディーク宇宙が集合論の公理を満たす集合であることを確認します。

現代数学はほとんどが集合論を用いて記述されますが、集合論の公理を説明するのに集合論を使うことはできないので、集合論に先立って数学で考えて良いもの、やって良い操作を決める必要があります。

この記事では素朴に、集合論無しでも以下のようなことが考えられるとします。(厳密な定義を試みるものではないので、ご留意ください。)

1. “もの” の集まりを考えることができる。その集まりを $M$ とおいたとき、$x$ が $M$ に含まれることを $x \in M$ と表す。$x$ は $M$ の要素である、ともいう。
2. 「$x$ が性質 $\varphi$ を満たす」のような “命題” を考えることができる。
3. 「任意の $x \in M$ が性質 $\varphi$ を満たす」、「性質 $\varphi$ を満たす $x \in M$ が存在する」、「性質 $\varphi$ を満たす $x \in M$ がただ一つ存在する」のような、”任意の” や “存在する”、”ただ一つ存在する” という “命題” を考えることができる。

他にも、「否定」、「かつ」、「または」、「ならば」のような論理的な操作が行えると仮定します。性質 $\varphi$ については、例えば「$x$ が自然数かつ偶数である」、「$x$ は位相空間である」のようなものを想定します。これが曖昧だと感じる方は、下述の補足をご参照ください。

[補足] 集合論は厳密には、適当な文字を適当な文法を満たすように並べた構文として定義するのが標準的なようです。これについては alg-d さんの PDF や動画がとっつき易いと思います。上述の性質 $\varphi$ は、そこでいう論理式のことです。クラス (ものの集まりで、集合とは限らないもの) は論理式の略記と考えることができるようで、上述の 3 つ性質を満たすはずなので矛盾はないと思いますが、ちゃんと確認していません。ちなみにその立場からすると、2 と 3 は区別する必要がありません。

集合論の公理系 (ZFC)

集合論の公理系 (ZFC) とは

多くの場合に集合論の公理系として採用される、ZFC公理系について簡単にまとめます。ただし正確性については wikipedia 以下なので、数学をする分には十分ですが、数理論理学にとっては不十分な可能性があります。

以下に現れる文字 $A, B, x, y$ 等は全て集合であるとします (集合論では集合の要素は全て集合です)。

1. （空集合の公理）要素を持たない集合 $\varnothing$ が存在する。
2. （外延性公理） 集合 $A, B$ は、同じ要素からなる場合に $A = B$ とする。つまり任意の $x \in A$ に対して $x \in B$ を満たし、かつ任意の $y \in B$ に対して $y \in A$ を満たすとき $A = B$ とする。
3. （対の公理）集合 $x, y$ に対して、それらのみを要素とする集合が存在する。それを $\{x, y\}$ と表す。($\{x, x\} = \{x\}$ と表す。)
4. （和集合の公理）任意の集合 $A$ に対して、$A$ の要素の要素全体からなる集合が存在する。それを $\bigcup A$ と表し、和集合と呼ぶ。($\bigcup \{x, y\} = x \cup y$ と表す。)
5. （無限公理）ある集合 $A$ で、$\varnothing \in A$ かつ、任意の $x \in A$ に対して $x \cup \{x\} \in A$ を満たすものが存在する。
6. （冪集合公理）集合 $A$ の部分集合 (集合 $B$ で、任意の $x \in B$ に対して $x \in A$ を満たすもの) 全てからなる集合が存在する。それを $2^A$ または $P(A)$ と表す。
7. （置換公理）$\psi(x, y)$ を対 $\{x, y\}$ に対して真または偽を定めるものとする。集合 $A$ の任意の要素 $x \in A$ に対して、$\psi(x, y)$ を真とする集合 $y$ がただ一つ存在するならば、その $y$ たちを要素にもつ集合 $B$ が存在する。
8. （正則性公理 (基礎の公理)）空でない集合 $A$ には、任意の $y \in A$ に対して $y \notin x$ を満たす $x \in A$ が存在する。
9. （選択公理）$A$ は空集合を要素に持たない集合の集合で、異なる要素 $x, y \in A$ は共通の要素を持たないとする。このとき $A$ の各要素から一つずつ要素をとってきた集合が存在する。

公理系の簡単な解説

公理系をこのように並べられると意味が取りづらいですが、外延性公理と正則性公理と無限公理以外は、集合から新しく集合を作る方法を述べたものになっています。例えば和集合の公理は和集合が集合であること、冪集合公理は部分集合全体が集合であることを保証しています。

置換公理はわかりにくいですが、公理の前半の内容の「$x \in A$ に対して $\psi(x, y)$ が真である集合 $y$ がただ一つ存在する」というのは $x \in A$ に対して $y$ を対応させる写像のようなものを考えていて、写像のようなものの行き先を全て集めたものが集合であることを保証しています。つまり、”ものの集まり” $B$ に対して “全射” $f: A \to B$ が存在すれば、$B$ は集合であると解釈することができます。

置換公理から導かれる、分出公理と呼ばれるものはもう少しわかりやすいです。分出公理とは $A$ を集合、$\psi$ を $x \in A$ に対して真または偽を定めるものとしたとき、集合 $A$ の中で $\psi(x)$ が真であるもの全体

$$\{x \in A \mid \psi(x)\}$$

が集合であることを保証するものです。集合 $A$ の中で、というのがポイントで、その前提がないと矛盾することが知られています (ラッセルのパラドックス)。

分出公理は

$$\psi^{\prime}(x, y) = \begin{cases} \textrm{ 真 } & (\psi(x) \textrm{ が真かつ } x = y) \\ \textrm{ 真 } & (\psi(x) \textrm{ が偽かつ } y = \varnothing) \\ \textrm{ 偽 } & (\textrm{それ以外}) \end{cases}$$

とおいて置換公理を適用すれば導かれます。分出公理から $A \cap B$ を

$$A \cap B = \{x \in A \mid x \in B\}$$

と定めることができます。よって $A \cap B$ は集合です。無限個の共通部分 $\bigcap A$ も同様に、$P(x)$ を $x$ が任意の $a \in A$ に含まれるときに真として分出公理を適用すれば良いです。

対の公理から、順序対 $\langle x, y\rangle = \{\{x\}, \{x, y\}\}$ は集合となります。$\langle x, y\rangle = \langle x^{\prime}, y^{\prime}\rangle$ は $x = x^{\prime}$ かつ $y = y^{\prime}$ と同値であることが、外延性公理から示されます。

集合 $A, B$ に対して $a \in A, b \in B$ の順序対は $P(P(A\cup B))$ の要素なので

$$A \times B = \{x \in P(P(A\cup B)) \mid a \in A, b \in B \textrm{ が存在して } x = \langle a, b \rangle\}$$

と $A \times B$ が定義できます。$A$ から $B$ への関数も、$A \times B$ の中のある条件を満たすものとして定義でき、関数全体 $B^A$ は $P(A\times B)$ の中でその条件を満たすもの全体なので、分出公理から $B^A$ は集合です。これにより無限個の直積 $A^{\Lambda}$ も定義できます。

このようにして公理系から、集合の特定の操作で得られたものが集合であることが導かれます。

空集合の公理と無限公理から自然数を構成することもできます。まず $\varnothing$ を $0$ と考えます ($1$ でも良い)。そして $x$ に対して $S(x) = x \cup \{x\}$ と定義します。$1 = S(0)$, $2 = S(1)$, … と定義すると、無限公理から $0, 1, 2, …$ を全て含む集合 $A$ が存在します。$A$ は $0, 1, 2, …$ 以外の要素も含む可能性がありますが、分出公理により除くことができて [wiki2]、それがペアノの公理を満たすようです。

グロタンディーク宇宙

集合全体を考えるには

集合論の公理は「△△△という条件を満たすものは集合である」という形式のものではなく、「×××という方法で作られたものは集合である」という形式のものなので、ある集まりが集合であるのかどうかの判定は一般に難しいと思われます。(「×××という方法で作られたもの “のみ” が集合である」ともいえないようです。)

しかし、集合全体は集合でないことが知られています。それは集合全体を集合であると仮定して、ある集合論的な操作を行うことで矛盾が発生する、というかたちで証明されます。

圏論では集合全体や、ある性質を持つ集まり全体のようなものを扱うため、そのようなものに対して集合論的な操作を行いたい場合は、それによって矛盾が起きないことを (集合論の公理とは別に) 保証する必要があります。これを解消するには

1. 集合全体を含むより広い対象を扱える理論を構築する
2. 集合全体を考える代わりに、集合論的な操作で閉じている十分大きな集合を用意し、その集合に含まれる要素だけで理論を展開する

の 2 通りが考えられます。グロタンディーク宇宙は後者の方法でこの問題を解消します。

グロタンディーク宇宙の定義

グロタンディーク宇宙 (または単に宇宙) とは以下の性質を満たす集合の $\mathcal{U}$ のことです。

1. $x \in \mathcal{U}$ ならば $x \subset \mathcal{U}$ である. ($x$ の要素は $\mathcal{U}$ の要素である.)
2. $\varnothing \in \mathcal{U}$
3. $x, y \in \mathcal{U}$ ならば $\{x, y\} \in \mathcal{U}$
4. $I \in \mathcal{U}$ かつ $i \in I$ に対して $x_i \in \mathcal{U}$ ならば $\bigcup_{i \in I} x_i \in \mathcal{U}$
5. $x \in \mathcal{U}$ ならば $P(x) \in \mathcal{U}$

2 は空集合の公理、3 は対の公理、4 は概ね和集合公理、5 は冪集合公理に対応します。

置換公理の類似である

$$x \in \mathcal{U}, \ y \subset \mathcal{U} \textrm{ かつ全射 } f: x \to y \textrm{ が存在する} \Rightarrow y \in \mathcal{U}$$

が成り立つことを確認しましょう。まず任意の $b \in y$ に対して $b \in \mathcal{U}$ です。よって $a \in x$ に対して $f(a) \in \mathcal{U}$ となります。ここで 3 から $\{f(a)\} \in \mathcal{U}$ であり、かつ 4 から

$$y = \bigcup_{a \in x} \{f(a)\} \in \mathcal{U}$$

となります。ちなみに、1 と 5 から $x$ の部分集合は $\mathcal{U}$ の要素なので、分出公理の類似だけなら直接示すこともできます。これによって共通部分、直積、写像全体などが $\mathcal{U}$ の要素であることが集合論の場合と同様にわかります。

選択公理の類似については、$A$ の要素 $x \in A$ から一つずつ要素をとって集めた集合が $\mathcal{U}$ の元であることを確かめれば良いですが、その要素を $y_x \in x$ とおけば $\{y_x\} \in \mathcal{U}$ であり、4 から $\bigcup_{x \in A} \{y_x\} \in \mathcal{U}$ となります。

外延性公理と正則性公理は改めて仮定しなくても成り立っています。

よってグロタンディーク宇宙は集合論の公理のうち、無限公理以外の 8 つの公理を満たすことがわかります。自然数の集合を $\mathbb{N}$ として、$\mathbb{N} \in \mathcal{U}$ を仮定すれば無限公理も満たします。

このように、宇宙 $\mathcal{U}$ は集合論的な操作で閉じた集合であるということができます。

宇宙公理

以下の命題は ZFC とは独立であることが知られています。

• 任意の集合に対して、それを要素とする宇宙が存在する。

これは宇宙公理と呼ばれ、圏論では多くの場合この公理が仮定されます。

$\mathcal{U}$ をある宇宙としたとき、$\mathcal{U} \not \in \mathcal{U}$ が成り立ちます。実際、$\mathcal{U} \in \mathcal{U}$ と仮定すると、宇宙の定義から $P(\mathcal{U}) \in \mathcal{U}$ であり、よって $P(\mathcal{U}) \subset \mathcal{U}$ となりますが、カントールの定理から $P(\mathcal{U})$ の濃度は $\mathcal{U}$ よりも真に大きいので矛盾します。

宇宙公理を仮定すると、宇宙 $\mathcal{U}$ を要素にもつ宇宙 $\mathcal{V}$ が存在します。上述したことから、$\mathcal{U} \neq \mathcal{V}$ です。$\mathcal{U}$ は集合論的操作で閉じていることから、宇宙公理は集合論的操作では構成できない集合の存在を保証します。

よって、集合論の公理のみで構成されるもの “のみ” を集合とする、としてしまうと宇宙公理を採用する立場からは都合が悪いです。

圏論と宇宙

圏論では、全ての位相空間とその間の連続写像全体や、全ての群とその間の準同型写像全体のような、ある性質を持つもの全体を扱うことが多いですが、「ある性質を持つもの全体」は集合であるとは限りません。

そこで全ての集合を考える代わりに、ある宇宙 $\mathcal{U}$ を一つ固定し、その宇宙に属する集合のみを考えます。そうすることで「ある性質を持つもの全体」を考えても集合論的操作を自由に行うことができます。

圏の定義

$\mathcal{U}$ を宇宙とします。$\mathcal{U}$ の要素である集合を小さい集合と呼びます。

$C$ が圏であるとは、以下を満たすことです。

1. $Ob(C) \subset \mathcal{U}$ が与えられている ( $Ob(C)$ の元を $C$ の対象という)。
2. 2 つの対象 $a, b \in Ob(C)$ に対して小さい集合 $\mathrm{Hom}(a,b) \in \mathcal{U}$ が与えられている ( $\mathrm{Hom}(a,b)$ の元を $a$ から $b$ への射という)。
3. $f \in \mathrm{Hom}(a,b)$ と $g \in \mathrm{Hom}(b,c)$ に対して合成 $g \circ f \in \mathrm{Hom}(a, c)$ が定まる。
4. $f, g, h$ が合成可能であるとき、$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ が成り立つ。
5. 任意の $a \in Ob(C)$ に対して $1_a \in \mathrm{Hom}(a, a)$ が存在して、合成可能である $f, g$ に対して $1_a \circ f = f$, $g \circ 1_a = g$ を満たす ( $1_a$ を$a$ の恒等射という)。

$\mathrm{Hom}(a,b)$ は圏 $C$ の射であることを明示して、$\mathrm{Hom}_C(a,b)$ と表す場合もあります。$\mathrm{Hom}(a,b)$ が小さい集合であることを強調して、$C$ を局所小圏と呼ぶこともあります。また圏 $C$ が $Ob(C) \in \mathcal{U}$ を満たすとき、$C$ は小圏であるといいます。

$Ob(C) = \mathcal{U}$、$\mathrm{Hom}(a,b)$ を $a$ から $b$ への写像全体とすると、それは圏になります。この圏を $\mathrm{Set}$ と表します。$Ob(C)$ を $\mathcal{U}$ の元で位相空間であるもの全体、$\mathrm{Hom}(a,b)$ を $a$ から $b$ への連続写像全体とすると、それも圏となります。

宇宙をはみ出してしまう操作

一つの圏のみを考えている場合は基本的に宇宙 $\mathcal{U}$ の外に出ることはありませんが、複数の圏を考えたり、圏から別の圏を構成したりする場合に $\mathcal{U}$ に含まれない集合が現れることがあります。

関手全体

圏 $C$ から圏 $D$ への関手 $F$ とは、$C$ の任意の対象 $c \in Ob(C)$ に対して $F(c) \in Ob(D)$ を対応させ、射 $f \in \mathrm{Hom}_C(c, c^{\prime})$ に対して $F(f) \in \mathrm{Hom}_D(F(c), F(c^{\prime}))$ を対応させ、恒等射を恒等射に移し、合成を保つもののことです。$F$ が圏 $C$ から圏 $D$ への関手であることを $F: C \to D$ と表します。

関数 $f: Ob(C) \to Ob(D)$ が与えられたとき、圏 $C$ の全ての射を恒等射に移す関手 $\bar{f}: C \to D$ が得られます。よって $C$ から $D$ への関手全体は $Ob(C)$ から $Ob(D)$ への写像全体を含みます。$Ob(C), Ob(D) \subset \mathcal{U}$ に対して、その間の写像全体は $\mathcal{U}$ の部分集合であるとは限らないため、一般に関手全体は $\mathcal{U}$ の部分集合ではありません。

例えば $C$ の対象が 2 つのみの場合でも、$Ob(C)$ から $Ob(\mathrm{Set}) = \mathcal{U}$ への写像全体は $\mathcal{U}$ の部分集合全体となり、$P(\mathcal{U}) \not \subset \mathcal{U}$ であるため、$C$ から $\mathrm{Set}$ への関手全体を考えると $\mathcal{U}$ をはみ出してしまいます。

一方、$C$ と $D$ が両方小圏である場合は、対象の間の写像全体は小さい集合になります。

射の対応も含めた場合も一応考えましょう。まず、$C$ の射を全て集めたもの $\bigcup_{c, c^{\prime} \in Ob(C)} \mathrm{Hom}_C(c, c^{\prime})$ は集合ではあります。それは、$Ob(C) \times Ob(C)$ から $\mathcal{U}$ への写像を $f(c, c^{\prime}) = \mathrm{Hom}_C(c, c^{\prime})$ と定義し、置換公理を用いれば良いです。しかし一般に $Ob(C) \times Ob(C) \not \in \mathcal{U}$ なので、小さい集合ではありません。射の対応は $C$ の射全体から $D$ の射全体への写像の中で、ある性質を満たすものとして定義できるので、$C$ から $D$ への関手全体は集合ではあります。

ちなみに、$C$ が小圏の場合は $Ob(C) \times Ob(C) \in \mathcal{U}$ であるため、宇宙の定義の 4 から射全体は小さい集合になります。よって $C$ と $D$ が両方小圏である場合は、関手全体は小さい集合になります。

どちらかが小圏でない場合でも関手全体は集合ではあるので、それを要素とする宇宙をとれば問題ありません。

局所化

圏 $C$ の射の集合 $S$ で、ある条件を満たすものに対して、$S$ の射が全て逆射をもつ圏 $C_S$ を構成することがあります。この構成は局所化と呼ばれます。$Ob(C) = Ob(C_S)$ ですが、射の集合が異なります。$C_S$ を作る際に、$C$ のある射の集合をある同値関係で割って $C_S$ の射を構成することがあります (集合ではあるので同値関係で割れます)。$C$ のある射の集合は単一の組の間の射だけでなく、複数の組の間の射を含むため、一般に小さい集合にはなりません。よってそれを同値関係で割ったものも一般に小さい集合にはなりません。

参考文献

[alg-d] alg-d. 数学基礎論 (数理論理学) 入門

[浅芝1] 浅芝 秀人. グラフ表現で可視化する圏論.

[浅芝2] 浅芝 秀人. 圏と表現論: 2-圏論的被覆理論を中心に (付録 A).

[wiki] wikipedia. 公理的集合論.

[wiki2] wikipedia. 無限公理

[坪井] 坪井明人. 数理論理学II の第 1 章.

渕野 昌. 数学の基礎としての集合論 vs. 数学としての集合論